🔎모폴로지란?

모폴로지의 정의

이미지에서의 모폴로지(형태학)은 객체의 형태 및 구조를 분석하고 처리하는 것으로 주로 바이너리 이미지에서 객체의 경계를 조절하거나, 노이즈를 제거하는데 사용되며, 구조 요소라는 특정 형태와 함께 연산이 이루어진다.

모폴로지의 중요성

모폴로지는 이미지 내의 작은 노이즈나 특이점들을 제거하고, 객체의 형태를 뚜렷하게 하는데 도움을 준다. 또한 통계학적 연산으로 찾지 못하는 객체를 찾을 수 있어 융합적으로 많이 활용된다.

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📚모폴로지 연산

0. 구조요소 (Structuring Element)

구조 요소는 모폴로지 연산을 수행할 때 사용하는 작은 바이너리 회색조 이미지이다.
대표적으로 직사각형, 원, 마름모 등의 형태가 있다. 구조 요소의 크기와 형태에 따라 모폴로지 연산 결과가 달라진다.

• FIT : 구조 요소의 포그라운드가 이미지의 특정 부분에 대해 완벽히 일치
  $B \subseteq A$
• HIT : 구조 요소의 포그라운드가 이미지의 특정 부분에 대해 일부 일치
  $B \cap A \neq \emptyset$
  $(A \cap B_1) \neq \emptyset \ \text{and} \ (A^c \cap B_2) = \emptyset$
• MISS : 구조 요소의 포그라운드가 이미지의 특정 부분에 대해 전혀 불일치
  $B \cap A = \emptyset$
  ※ $\bar{A}$ : 이미지의 특정 부분
  ※ $\bar{B}$ : 구조 요소 행렬
  ※ 포그라운드 : 백그라운드와 반대 개념으로, 배경이 아닌 요소
  

기초적인 연산

1. 침식과 팽창 연산 (Erosion & Dilation)

• 침식(Erosion) : 구조 요소가 이미지 내에 완전히 들어맞지 않으면 해당 픽셀을 제거
  $(A \ominus B) = \{ x \mid B_x \subseteq A \}$
• 팽창(Dilation) : 구조 요소와 이미지가 겹치는 부분이 하나라도 있으면 해당 픽셀을 추가
  $(A \oplus B) = \{ x \mid (B^{\delta}_x \cap A) \neq \emptyset \}$

2. 열림과 닫힘 연산 (Opening & Closing)

• 열림(Opening) : 열림 연산은 침식 연산 후 팽창 연산을 적용하는 것으로 정의
  $A \circ B = (A \ominus B) \oplus B$
• 닫힘(Closing) : 닫힘 연산은 팽창 연산 후 침식 연산을 적용하는 것으로 정의
  $A \bullet B = (A \oplus B) \ominus B$

  침팽열닫 정리 :

  연산	정의	특징
  침식	이미지에서 구조 요소가 완전히 포함되지 않는 부분을 제거	- 객체의 경계를 줄임 - 작은 객체나 돌출부를 제거 - 전경 픽셀을 감소
  팽창	이미지와 구조 요소가 겹치는 모든 부분을 추가	- 객체의 경계를 확장 - 작은 홈이나 구멍을 메움 - 전경 픽셀을 증가
  열림	침식 후 팽창	- 노이즈 제거 - 작은 객체나 돌출부를 제거 - 큰 객체의 형태는 거의 그대로 유지
  닫힘	팽창 후 침식	- 작은 홈이나 간극을 메움 - 객체 내부의 작은 구멍을 제거 - 객체의 형태를 강화

   import cv2
   import numpy as np
   import matplotlib.pyplot as plt
   
   # 원본 행렬
   original = np.array([
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0],
       [0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
       [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
   ], dtype=np.uint8)
   
   # 구조 요소
   SE = np.array([
       [1, 1],
       [1, 1]
   ], dtype=np.uint8)
   
   # 침식연산
   erosion = cv2.erode(original, SE, iterations=1)
   
   # 팽창연산
   dilation = cv2.dilate(original, SE, iterations=1)
   
   # 결과 표시
   plt.figure(figsize=(12, 4))
   
   plt.subplot(1, 3, 1)
   plt.imshow(original, cmap='gray')
   plt.title('Original')
   
   plt.subplot(1, 3, 2)
   plt.imshow(erosion, cmap='gray')
   plt.title('Erosion')
   
   plt.subplot(1, 3, 3)
   plt.imshow(dilation, cmap='gray')
   plt.title('Dilation')
   
   plt.tight_layout()
   plt.show()

  

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그레디언트 (Morphological Gradient)

팽창 연산의 결과에 침식 연산의 결과를 뺀 것으로 정의되며 이미지의 경계나 윤곽을 감지하거나 외곽을 강조하는 데 사용된다.
팽창과 침식의 차이는 밝기나 색상, 픽셀 값의 변화를 나타내게 되는 것이므로 이 경계강조 연산을 그레디언트 연산이라 불린다.. (어우 헷갈려..)
${Gradient}(A)=(A⊕B)−(A⊖B)$

 img = cv2.imread('moon.jpg', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)
 SE = np.array([
     [0, 1, 0],
     [1, 1, 1],
     [0, 1, 0]
 ], dtype=np.uint8)
 
 erosion = cv2.erode(img, SE, iterations=1)
 dilation = cv2.dilate(img, SE, iterations=1)
 gradient = cv2.morphologyEx(img, cv2.MORPH_GRADIENT, SE)
 
 # 결과 표시
 plt.figure(figsize=(16, 4))
 
 plt.subplot(1, 4, 1)
 plt.imshow(img, cmap='gray')
 plt.title('Original Image')
 
 plt.subplot(1, 4, 2)
 plt.imshow(erosion, cmap='gray')
 plt.title('Erosion')
 
 plt.subplot(1, 4, 3)
 plt.imshow(dilation, cmap='gray')
 plt.title('Dilation')
 
 plt.subplot(1, 4, 4)
 plt.imshow(gradient, cmap='gray')
 plt.title('Morphological Gradient')
 
 plt.tight_layout()
 plt.show()

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톱햇과 블랙햇 연산 (Top-Hat, Black-Hat)

원본 이미지와 이미지에 특정 모폴로지 연산을 적용한 결과 사이의 차이를 표시하는데 사용되며 밝거나 어두운 지역의 작은 변화나 노이즈를 감지하는데 유용하다.

• 톱햇(Top-hat) : 원본 이미지에서 열림 연산의 결과를 뺀 것으로 정의
• 블랙햇(Black-hat) : 원본 이미지에서 닫힘 연산의 결과를 뺀 것으로 정의

1. 톱햇 연산 (Top-Hat)

침식연산 후의 이미지와 원본 이미지와의 차이를 나타냅니다. 이 연산은 밝은 배경 위의 작은 어두운 객체나 노이즈를 강조하는 데 사용된다.

${TopHat}(A) = A−(A⊖B)$

2. 블랙햇 연산 (Black-Hat)

팽창연산 후의 이미지와 원본 이미지와의 차이를 나타냅니다. 이 연산은 어두운 배경 위의 작은 밝은 객체나 노이즈를 강조하는 데 사용된다.

${BlackHat}(A)=(A⊕B)−A$

   img = cv2.imread('moon.jpg', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)
   SE = np.ones([9,9])
   
   # 노이즈 추가
   noises = 100  # 노이즈로 추가할 점의 수
   for _ in range(noises):
       x = np.random.randint(0, img.shape[1])  # 랜덤한 x 좌표
       y = np.random.randint(0, img.shape[0])  # 랜덤한 y 좌표
       img[y, x] = 255  # 해당 좌표의 픽셀 값을 0 (검은색)으로 변경
   
   # 톱햇 연산
   tophat = cv2.morphologyEx(img, cv2.MORPH_TOPHAT, SE)
   
   # 블랙햇 연산
   blackhat = cv2.morphologyEx(img, cv2.MORPH_BLACKHAT, SE)
   
   # 결과 표시
   plt.figure(figsize=(12, 4))
   
   plt.subplot(1, 3, 1)
   plt.imshow(img, cmap='gray')
   plt.title('Original')
   
   plt.subplot(1, 3, 2)
   plt.imshow(tophat, cmap='gray')
   plt.title('Top Hat')
   
   plt.subplot(1, 3, 3)
   plt.imshow(blackhat, cmap='gray')
   plt.title('Black Hat')
   
   plt.tight_layout()
   plt.show()

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히트미스 연산 (Hit-or-Miss)

바이너리 이미지에서 특정 패턴을 찾는 데 사용되는 연산으로, 두 개의 구조 요소를 사용하여 하나는 히트 하나는 미스를 찾아 연산을 수행하게 된다.

$A \circledcirc B = (A \ominus B_1) \cap (A^c \ominus B_2)$

여기서 $B_{1}$은 히트 구조요소, $B_{2}$는 미스 구조 요소, $A^c$는 이미지 $A$의 여집합입니다.

import cv2
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

image = cv2.imread('moon.jpg', cv2.IMREAD_GRAYSCALE)

# SE, 1은 히트, -1은 미스
SE = np.array([
    [-1, -1,  1, -1, -1],
    [-1,  1,  1,  1, -1],
    [ 1,  1,  1,  1,  1],
    [-1,  1,  1,  1, -1],
    [-1, -1,  1, -1, -1]
], dtype=np.uint8)

# 히트미스 연산
hitormiss = cv2.morphologyEx(image, cv2.MORPH_HITMISS, SE)

# 결과 표시
plt.figure(figsize=(10, 4))

plt.subplot(1, 2, 1)
plt.imshow(image, cmap='gray')
plt.title('Original')

plt.subplot(1, 2, 2)
plt.imshow(hitormiss, cmap='gray')
plt.title('Hit-or-Miss')

plt.tight_layout()
plt.show()

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정리

연산	수식	수식 설명	사용 분야
침식 (Erosion)	$A \ominus B$	원본 이미지 ( A )에서 구조 요소 ( B )를 빼는 연산.	이미지의 경계 축소, 작은 노이즈나 객체 제거.
팽창 (Dilation)	$A \oplus B$	원본 이미지 ( A )에 구조 요소 ( B )를 더하는 연산.	이미지의 경계 확장, 작은 구멍 채우기.
열림 (Opening)	$(A \ominus B) \oplus B$	침식 연산 후 팽창 연산을 적용.	작은 노이즈나 객체 제거 후 원래의 큰 객체 복원.
닫힘 (Closing)	$(A \oplus B) \ominus B$	팽창 연산 후 침식 연산을 적용.	작은 구멍 채우기 후 원래의 큰 객체의 경계 복원.
그레디언트 (Gradient)	$(A \oplus B) - (A \ominus B)$	팽창 연산과 침식 연산의 차이.	이미지의 경계나 외곽선 강조.
톱햇 (Top-Hat)	$A - (A \ominus B)$	원본 이미지와 열림 연산 결과의 차이.	밝은 배경 위의 작은 어두운 객체나 노이즈 강조.
블랙햇 (Black-Hat)	$(A \oplus B) - A$	원본 이미지와 닫힘 연산 결과의 차이.	어두운 배경 위의 작은 밝은 객체나 노이즈 강조.
히트미스 (Hit-or-Miss)	$(A \ominus B_1) \cap ({A^c} \ominus B_2)$	원본 이미지에서 "히트" 패턴에 해당하는 부분과 "미스" 패턴에 해당하지 않는 부분을 찾는 연산.	바이너리 이미지에서 특정 패턴의 위치를 찾는 데 사용.