[게임 수학] #3 벡터

데카르트 좌표계

직선의 1차원 수집합 두개를 곱하면 평면으로 확장된다. 이를 표현할 때 두 수집합을 수직으로 나타나는데 이를 데카르트 좌표계라고 한다.

가로 방향으로 나타나는 집합을 $x$축, 세로 방향으로 나타나는 집합을 $y$축으로 표기하며 두 축이 교차하는 지점이 원점이다. 원점을 기준으로 좌측 상단부터 반시계 방향으로 제1사분면 ~ 4사분면으로 나눈다.

벡터와 스칼라

데카르트 좌표계의 원소는 $(x,y)$의 형태로 표현되고 좌표라고 불린다. 1차원 수와 마찬가지로 크기와 방향을 갖는 좌표 집합을 벡터 공간라고 부르며 이 벡터 공간을 구성하는 원소가 바로 벡터이다. 벡터는 방향과 크기를 갖는다. 벡터는 다음과 같이 좌표와 유사하게 표현된다.

$\overrightarrow{v} = (x, y)$

스칼라는 체의 구조를 갖는 원소로 방향이 아닌 크기만을 나타낸다.

벡터 공간 연산

벡터와 벡터의 합

$\overrightarrow{v_1} + \overrightarrow{v_2} = (x_1,y_1) + (x_2,y_2) = (x_1+x_2,y_1+y_2)$

스칼라와 벡터의 곱

$a * \overrightarrow{v} = a*(x,y)= (ax,ay)$

벡터의 크기

벡터의 크기는 피타고라스의 정리를 활용하여 측정할 수 있다.
벡터 $\overrightarrow{v} = (x,y)$의 크기 $|\overrightarrow{v}|$는 $\sqrt{x^2 + y^2}$ 이다.

영벡터

$\overrightarrow{0}$으로 나타내며 크기가 0인 벡터를 의미한다.

단위벡터와 정규화

단위벡터는 크기가 1인 벡터로, $\hat{v}$로 표현한다.
단위벡터를 구하기 위해서는 $\overrightarrow{v}$를 $|\overrightarrow{v}|$로 나누면 된다. 이 과정을 정규화(Nomalize)라고 부른다.

벡터의 결합

선형 결합

n개의 스칼라 $a_1,...,a_n$과 n개의 벡터 $\overrightarrow{v_1},...,\overrightarrow{v_n}$을 결합해 새로운 벡터를 만들어내는 것을 선형결합이라고 부른다.

$\overrightarrow{v'} = a_1\overrightarrow{v_1} + a_2\overrightarrow{v_2}+...+a_n\overrightarrow{v_n}$

선형 종속

모든 스칼라 $a_1,...,a_n$이 0이 아니어도 결합하여 $\overrightarrow{0}$을 만들어 낼 수 있다면 결합에 사용된 모든 벡터는 선형 종속의 관계를 갖는다고 말한다.

선형 독립

모든 스칼라 $a_1,...,a_n$이 0일 때만 $\overrightarrow{0}$을 만들어 낼 수 있다면 결합에 사용된 모든 벡터는 선형 독립의 관계를 갖는다고 말한다.

선형 독립인 두 벡터를 선형 결합하면 벡터 공간의 모든 벡터를 만들어 낼 수 있다.

기저

기저(Basis)는 다른 벡터들을 선형 결합하여 모든 벡터를 생성할 수 있는 특별한 집합이다. 여기서 기저 집합의 원소들은 선형 독립 관계다. 또한, 2차원 벡터 공간에 필요한 기저 집합의 원소는 항상 2개뿐이다.

기저는 $B=${$(a,b),(c,d)$}로 나타내고, 벡터$(a,b)$는 기저 $B$에 속한 기저 벡터라고 한다.

표준기저

단위벡터로만 이루어진 기저집합{$(1,0),(0,1)$}을 표준기저라고 하며 각각의 원소는 표준기저벡터이다.

$e_1 = (1,0)$
$e_2 = (0,1)$

실벡터공간

실수들의 선형 조합을 통해 정의되는 수학적 구조다. 실벡터공간은 다양한 차원과 크기를 가질 수 있는데, 차원에 대한 정보를 제공하기 위해서 $\mathbb{R}$기호에 차원 정보를 붙인다.
예를 들면 $\mathbb{R}^2$ 2차원 실벡터공간으로 나타낸다.

차원이 늘어날때마다 표준기저의 원소가 하나씩 늘어나게 된다.

$\mathbb{R}^3$의 경우
$e_1 = (1,0,0)$
$e_2 = (0,1,0)$
$e_3 = (0,0,1)$