[게임 수학] #4 삼각함수

삼각함수

덧셈과 곰셈으로 벡터의 이동을 표현할 수 있었지만 벡터의 회전의 경우는 삼각함수가 필요하다.

$sin\theta = \frac{b}{c}$
$cos\theta = \frac{a}{c}$
$tan\theta = \frac{b}{a}$

$c$의 길이가 1이라고 가정하면, $sin\theta = b$, $cos\theta = a$ 가 된다.
따라서 반지름이 1인 원을 구성하는 점의 좌표는 $(cos\theta, sin\theta)$로 나타낼 수 있다.

만일 여기서 반지름을 1이 아닌 $r$로 설정하면 반지름이 r인 원을 구성하는 점의 좌표는 $(r*cos\theta, r*sin\theta)$가 된다.

피타고라스의 정리에 따라 하나의 공식을 도출할 수 있는데, 이는 다음과 같다.

$sin^2\theta+cos^2\theta = 1$

삼각함수의 성질

$sin$함수와 $cos$함수는 다음과 같은 성질이 있다.

$sin$함수와 $cos$함수는 $1\le sin\theta \le-1$, $1\le cos\theta \le-1$의 범위를 갖는다.
$sin$함수와 $cos$함수는 $360^{\circ}$를 주기로 반복된다.
$sin$함수 그래프는 원점 대칭, $cos$ 함수는 $y$축 대칭을 이룬다. 이를 통해 아래의 성질을 도출할 수 있다.
$sin(-\theta) = -sin(\theta)$
$cos(-\theta) = cos\theta$

$tan$함수는 다음과 같은 성질이 있다.

$tan\theta=\frac{sin\theta}{cos\theta}$
분모가 $cos$함수인데, 분수식에서 분모가 0이 되어서는 안되므로 $cos$함수가 0이 되는 $90^{\circ}$ 마다 $tan$함수는 존재하지 않는다. ($-90^{\circ}$, $270^{\circ}$ 등)

삼각함수의 덧셈정리

$sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb$
$cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb$

호도법

호의 길이로 각도를 표현하는 방법으로 호도법으로 표현하는 각의 크기를 $rad$라고 한다.
$rad$은 각도에 대응하는 호의 길이를 원의 반지름으로 나눈 값이다.

$180^{\circ}$에 해당하는 반지름 1의 반원의 호 길이가 $\pi$이므로, $\pi(rad)=180^{\circ}$가 성립한다.
$1(rad)$은 호의 길이가 1일 때, 생기는 부채꼴의 각도 ${\frac{180}{\pi}}^{\circ}$이다.

벡터의 회전

회전은 $x, y$값이 모두 영향을 받기 때문에 계산이 어렵다.
실벡터공간 $\mathbb{R}^2$ 는 $e_1 = (1,0),e_2 = (0,1)$의 선형 결합으로 표현된다. $\mathbb{R}^2$를 $\theta$만큼 회전하면 표준기저 $e_1,e_2$는 다음과 같은 $e'_1,e'_2$로 변한다.

$e'_1 = (cos\theta,sin\theta), e'_2 = (-sin\theta,cos\theta)$

따라서, 만일 벡터 $\overrightarrow{v}=e_1+e_2$라고 두면, $\overrightarrow{v}$를 $\theta$만큼 회전한
$\overrightarrow{v'}=(cos\theta,sin\theta)+(-sin\theta,cos\theta)$가 되므로
$\overrightarrow{v'}=(cos\theta-sin\theta,sin\theta+cos\theta)$이다.

보다 일반적인 벡터 $\overrightarrow{v}=(x,y)$는 $x*e_1+y*e_2$이고,
$\overrightarrow{v'}=(x',y')=xcos\theta-ysin\theta,xsin\theta+ycos\theta)$로 일반화된다.

$x'=xcos\theta-ysin\theta$
$y'=xsin\theta+ycos\theta$

삼각함수의 역함수

벡터의 좌표에서 반대로 회전각도를 구하려면 삼각함수의 역함수가 필요하다. 전단사함수만이 역함수가 존재하는데, $sin,cos$함수는 전단사함수가 아니다. 이때 공역의 범위를 $[-1,1]$로, 정의역의 범위를$[-90^{\circ},90^{\circ}]$으로 제한하면 $sin,cos$함수를 한정적으로 전단사함수로 만들 수 있다.

$tan$의 경우, $90^{\circ}$마다 무한대로 발산하므로 $-90^{\circ},90^{\circ}$은 정의역이 존재하지 않는다. 따라서, 정의역을 $(-90^{\circ},90^{\circ})$으로 제한하면 전단사함수가 된다.

정의역과 공역을 제한하면 각 삼각함수들은 전단사함수의 성질을 띄어 역함수가 존재할 수 있다. 이를 각각 표현하는 함수는 다음과 같다.

$sin^{-1}x = arcsin(x)$
$cos^{-1}x = arccos(x)$
$tan^{-1}x = arctan(x)$

$arctan$의 경우 벡터의 각도를 구하는데 주로 사용된다. $\overrightarrow{v'}=(x',y')$이라고 할 때, $tan$함수값을 $\frac{y'}{x'}$를 통해 구한 뒤, 이를 $arctan$함수에 넣으면 벡터의 각도를 찾아낼 수 있다.