1. 정칙행렬, 역행렬

(1) 정의

n차 정방행렬 A와 행렬 B가 $AB=BA=I_n$ 을 만족할 때,

• $A$ → 정칙행렬(nonsingular matrix), 역연산이 가능한 행렬(invertible matrix)
• $B$ → $A$의 역행렬(inverse matrix)이며, $B=A^{-1}$로 나타냄

⇒ 정칙행렬 $A$ × $A$의 역원 = 단위행렬 $I$ $\;⇒ A A^{-1}=I_n$

< 정칙행렬의 유일성 >
$A$가 정칙행렬이면, $A^{-1}$은 유일함

< 정칙행렬의 거듭제곱 >
(행렬의 거듭제곱 공식을 음수까지 확장)
정칙행렬 $A$와 임의의 자연수 $n$에 대해 $A^{-n}=(A^{-1})^n$ 으로 정의한다면, 임의의 정수 $r$과 $s$에 대해서도 성립함

🔍 정칙행렬의 성질

$n$차 정칙행렬 $A$와 $B$에 대해 다음이 성립됨

• $A^{-1}$도 정칙행렬이며, $(A^{-1})^{-1}=A$ 이다.
  $→ AA^{-1}=A^{-1}A=I_n$
• $AB$도 정칙행렬이며, $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ 이다.
  $→ (AB)(B^{-1}A^{-1})=A(I_n)A^{-1}=I_n$
• $cA$도 정칙행렬이며, $(cA)^{-1}=c^{-1}A^{-1}= \frac{1}{c}A^{-1}$ 이다. ($c≠0$)
• $A^T$도 정칙행렬이며, $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$ 이다.
  $→A^T(A^{-1})^T=(A^{-1}A)^T=(I_n)^T=I_n$

⇒ 정칙행렬와 역행렬에 대한 행렬의 합은 성립되지 않음
⇒ 두번째 정리의 따름정리 : $(A_1A_2\cdots A_m)^{-1}={A_m}^{-1}{A_{m-1}}^{-1}\cdots {A_2}^{-1}{A_1}^{-1}$

2. 역행렬 구하기

(1) 2차 정방행렬의 역행렬 공식

$A= \begin{pmatrix}a&b\\c&d\\ \end{pmatrix},\;\, A^{-1}= \begin{pmatrix}x&y\\z&w\\ \end{pmatrix}$ 이라면,

$AA^{-1}= \begin{pmatrix}a&b\\c&d\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x&y\\z&w\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax+bz&ay+bw\\cx+dz&cy+dw\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\\ \end{pmatrix}$

→ 두 개의 일차연립방정식

$\begin{cases} ax+bz=1\\cx+dz=0 \end{cases},\;\, \begin{cases} ay+bw=0\\cy+dw=1 \end{cases}$

을 각각 $x, z$와 $y, w$에 관해 풀면,

ⅰ ) $ad-bc=0$ 일 경우, 역행렬을 구할 수 없게 됨
ⅱ) $ad-bc≠0$ 일 경우,

$⇒ a^{-1}={1 \over ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\\ \end{pmatrix}$

(2) n차 정방행렬 역행렬 공식

1) 기본행렬

$n$차 단위행렬 $I_n$에 기본행연산을 한 번만 적용하여 얻는 행렬을 기본행렬(elementary matrix) $E$ 으로 정의함

< 각 기본행연산에 대응하는 기본행렬 표시 >

• $R_{i,j} → E_{i,j}$
• $R_i(c) → E_i(c)$
• $R_{i,j}(c) → E_{i,j}(c)$
  
  

🔍 기본행연산과 기본행렬의 관계

$A$와 $B$가 $n \times p$ 행렬일 때, 다음이 성립됨

• $A$에 기본행연산 $R$을 적용한 결과는 $EA$
  (행렬 $E$는 $n$차 단위행렬에 동일한 기본행연산 $R$을 적용하여 얻은 기본행렬)
• $A$와 $B$가 행상등할 경우,
  유한 개의 기본행렬 $E_1, E_2, \cdots , E_k$가 존재하여, $A=E_1E_2\cdots E_kB$ 를 만족함
  
  

🔍 기본행렬의 성질

기본행렬은 정칙행렬이며, 기본행렬의 역행렬은 동일한 종류(3가지 중 하나)의 기본행렬

• $E_{i,j}E_{i,j}=I \;→\; (E_{i,j})^{-1}=E_{i,j}$
• $E_i(c)E_i({1\over c})=I \;→\; (E_i(c))^{-1}=E_i(c^{-1})$
• $E_{i,j}(c)E_{i,j}(-c)=I \;→\; (E_{i,j}(c))^{-1}=E_{i,j}(-c)$

< 정칙행렬과 영행(영렬) >
$A$가 $n$차 정칙행렬이라면, $A$에는 영행이나 영렬이 없음

🔍 "A는 n차 정방행렬"과 동치인 성질 ①②③

① $A$는 정칙행렬
② $A$와 $I$는 행상등
③ $A$는 유한 개의 $n$차 기본행렬들의 곱
(뒤에 ④, ⑤번 나옴)

2) n차 정방행렬 역행렬 알고리즘

$n$차 정방행렬 $A, B, C$에 대해, $(A|I_n)$과 소거행제형 행렬$(B|C)$가 행상등하면 다음이 성립됨

• $B$가 영행을 포함하면, $A$는 정칙행렬이 아님
• $B=I_n$이면, $A$는 정칙행렬이고 $C=a^{-1}$ 이 됨
  
  

< $A^{-1}$ 을 구하는 방법 >

• 입력 : $n$차 정방행렬 $A$
  ↓
• 단계 1
  $n \times 2n$ 확대행렬 $(A|I_n)$을 구성
  ↓
• 단계 2
  $(A|I_n)$에 기본행연산을 적용하여 소거행제형 행렬 $(B|C)$ 생성
  ↓
• 단계 3
  • $B=I_n$일 경우,출력 : $C=a^{-1}$
  • $B≠I_n$일 경우,출력 : "$A^{-1}$ 은 존재하지 않음"

3. 일차연립방정식과 역행렬

(1) 일차연립방정식 AX=B의 해

행렬 $M$의 위수(rank) : 행렬 $M$에 기본행연산을 적용하여 행제형 행렬 $R$로 만들었을 때, $R$의 영행이 아닌 행의 수

방정식이 $m$개, 미지수가 $n$개인 일차연립방정식 $AX=B$

$\begin{pmatrix} a_{11} \;& a_{12} \,& \cdots & a_{1n}\\ a_{21} \;& a_{22} \,& \cdots & a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_m \end{pmatrix}$

와 확대행렬 $(A|B)$에 대해 다음이 성립함

• $A$의 위수와 $(A|B)$의 위수가 같기 위한 필요충분조건은 연립방정식이 해를 갖는 것
• $A$와 $(A|B)$의 위수가 미지수의 개수 $n$과 같기 위한 필요충분조건은 연립방정식이 유일한 해를 갖는 것
  
  

(2) 정칙행렬과 일차연립방정식

1) AX=B의 근을 구하는 알고리즘

< 가우스-조르단 소거법 >

• $(A|B)$
  ↓ $R_k$ : 기본행연산 k번 실행
• $(E_kA|E_kB)$
  ↓ $R_{k-1}$
  $\vdots$
  ↓ $R_2$
• $(E_2 \cdots E_k A|E_2 \cdots E_k B)$
  ↓ $R_1$
• $(E_1E_2 \cdots E_k A|E_1E_2 \cdots E_kB)$
  $=(I_n|A^{-1}B)$

⇒ $A^{-1}B=X$이기 때문에 미지수 $X$ 를 구할 수 있음
⇒ 1. (2) 2) 에서 역행렬을 구하는 알고리즘의 단계 2와 똑같은 방식

🔍 일차연립방정식과 행렬의 성질

$a≠0$이면, 일차방정식 $ax=b$는 유일한 해 $x=a^{-1}b$를 가짐
↓
$A$가 $n$차 정칙행렬이면, 임의의 $n \times 1$ 행렬 $B$에 대해 $AX=B$는 유일한 해 $X=a^{-1}B$ 를 가짐
↓
$A$는 정칙행렬이다 $↔︎$ 행렬식 $|A|≠0$

< 동차연립방정식 >
$n$차 정방행렬 $A$가 $I_n$과 행상등하기 위한(행렬 $A$가 정칙행렬이기 위한) 필요충분조건은
동차연립방정식 $AX=O$ 이 오직 자명한 해($X=O$)만을 갖는 것

🔍 "A는 n차 정방행렬"과 동치인 성질 ④⑤

④ $AX=O$ 는 오직 자명한 해만을 가짐
⑤ $n \times 1$ 행렬 $B$ 각각에 대해 $AX=B$는 유일한 해를 가짐
+
⑥ $|A|≠0$ [행렬식]

▷ 손진곤·강태원, 『선형대수』, 한국방송통신대학교출판문화원, 2015