1. 정의

• $n$차 정방행렬 $A$에 실수를 대응시키는 함수를 행렬식(determinant)이라고 하며, $|A|$ 또는 $\det A$ 로 나타냄
  ❗️$|A|$은 절대값 기호 아님
• $n$차 정방행렬의 행렬식 = $n$차 행렬식
• $n$차 행렬식은 차수가 하나 낮은 ($n-1$)차 정방행렬의 행렬식을 이용하여 정의할 수 있음

$A=(a_{ij})$가 $n$차 정방행렬일 때,

• $A$의 $(i,j)$ 소행렬(submatrix) : $A$에서 $i$번째 행과 $j$번째 열을 제거하여 만든 ($n-1$)차 정방행렬
• $A$의 $(i,j)$ 소행렬식(minor) $M_{ij}$ : 소행렬의 행렬식
• $A$의 $(i,j)$ 여인수(cofactor) $A_{ij}$ : 소행렬식에 부호를 붙인 것  →  $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

2. 공식

(1) 1차 정방행렬

1차 정방행렬 $A=(a)$ 에 대해  →  $|A|=a$ 으로 표시(원소가 하나뿐)

(2) n차 정방행렬(n ≥ 2)

$n$차 정방행렬 $A=(a_{ij})$에 대해

$|A|=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+\cdots +a_{1n}A_{1n}= \displaystyle\sum_{j=1}^{n}{a_{1j}A_{1j}}$

이며, 이 식은 첫 번째 행에 의한 여인수 전개(cofactor expansion) 또는 라플라스 전개(Laplace expansion)라고 함

$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\\end{pmatrix}$ 일 때,
$|A|=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}=1 \cdot(1\cdot 4)+2\cdot((-1)\cdot (-3))=10$

The Formula of the Determinant of 3×3 Matrix

🔍 2차, 3차 행렬식 빠른 계산법

Determinant of a 2×2 matrix

The determinant of a 3 x 3 matrix (General & Shortcut Method)

1) i번째 행에 관한 여인수 전개

$|A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots +a_{in}A_{in}= \displaystyle\sum_{j=1}^{n}{a_{ij}A_{ij}}$

2) j번째 열에 관한 여인수 전개

$|A|=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots +a_{nj}A_{nj}= \displaystyle\sum_{i=1}^{n}{a_{ij}A_{ij}}$

⇒ 0이 많이 있는 행이나 열을 기준으로 잡으면 계산을 쉽게 할 수 있음

🔍 부호

$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$

$\begin{pmatrix}+&-\\-&+\end{pmatrix}\; \begin{pmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{pmatrix}\; \begin{pmatrix}+&-&+&-\\-&+&-&+\\+&-&+&-\\-&+&-&+\end{pmatrix} \cdots$

3. 성질

< 행렬식과 기본행연산과의 관련 >

기본행연산	행렬식
$A$에 $R_{i,j}$ → $B$	$⎮B⎮=-⎮A⎮$
$A$에 $R_{i(c)}$ → $B$	$⎮B⎮=c⎮A⎮$
$A$에 $R_{i,j(c)}$ → $B$	$⎮B⎮=⎮A⎮$

• $n$차 정방행렬 $A=(a_{ij})$가 영행을 갖는다면 $|A|=0$
• $n$차 삼각행렬 $A=(a_{ij})$의 행렬식은 $|A|=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}=\prod\limits_{i = 1}^{n} a_{ii}$
  (주대각원소끼리만 모두 곱하기)
  
  

4. 행렬 연산과 행렬식

< $n$차 기본행렬의 행렬식 >

기본행렬	행렬식
$I_n$에 $R_{i,j}$ → $E_{i,j}$	$⎮E_{i,j}⎮=-⎮I_n⎮=-1$
$I_n$에 $R_{i(c)}$ → $E_{i(c)}$	$⎮E_{i(c)}⎮=c⎮I_n⎮=c$
$I_n$에 $R_{i,j(c)}$ → $E_{i,j(c)}$	$⎮E_{i,j(c)}⎮=⎮I_n⎮=1$

(1) 행렬 곱 연산

$n$차 정방행렬 $A$에 대해 다음이 성립

• $E$가 $n$차 기본행렬이면, $|EA|=|E||A|$
  (왼쪽은 행렬끼리의 곱, 오른쪽은 실수끼리의 곱)
• $A$와 $B$가 행상등하면, $|A|=|E_1||E_2|\cdots |E_k||B|$ 를 만족하는 $n$차 기본행렬 $E_1, E_2, \cdots , E_k$ 존재
  • 따름정리 : $E_1, E_2, \cdots , E_k$가 $n$차 기본행렬이면, $|E_1, E_2, \cdots , E_k|=|E_1||E_2|\cdots |E_k|$
• $A$와 $B$가 $n$차 정방행렬이면, $|AB|=|A||B|$
  (⭐️ 두 행렬을 곱해서 행렬식을 구한 것과 따로 행렬식을 구해서 곱한 값은 같음)
  ❗️$AB≠BA$
  ❗️$|A+B|≠|A|+|B|$

🔍 "A는 n차 정방행렬"과 동치인 성질 ⑥

①~⑤ [역행렬]
+
⑥ $|A|≠0$

(2) 역행렬, 스칼라 배, 전치

$n$차 정방행렬 $A$에 대해 다음이 성립

• $|A^{-1}|={1 \over |A|}=|A|^{-1}\;\,$ ($A$는 정칙행렬)
  (정칙행렬의 행렬식 값의 역원 = 역행렬의 행렬식 값)
• $|cA|=c^n|A|\;\,$ ($c≠0$)
  ($A$의 한 행에만 $c$를 곱한 것이 $c|A|$이나, $|cA|$는 모든 행에 $c$를 곱했으므로 $n$승)
• $|A^T|=|A|$

▷ 손진곤·강태원, 『선형대수』, 한국방송통신대학교출판문화원, 2015