[컴퓨터그래픽스] Rigid Transformations (강체 변환)

Serun1017·2024년 10월 23일

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Rigid Transformations (강체 변환)

Rigid Transformations 은 물체의 모양과 크기를 변형 시키지 않고, 물체의 위치와 방향만 변경하는 변환이다. 즉, Rotations 과 Translations 이 포함된다.

3차원 에서 강체 변환 $T$ 는 다음과 같이 표현된다.

T(p) = R_{3 \times 3}P_{3 \times 1} + T_{3 \times 1} ,where \; RR^T=R^TR=I \; and \; detR=I

Rotation Matrix $R$ 은 다음의 성질을 갖는다.

RR^T=R^TR=I \; and \; detR=I

3차원에 대한 강체 변환은 아핀 변환 4x4 행렬로 표현된다. $\begin{bmatrix} R & T \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
여기서 $R$ 은 3x3 회전 행렬(roattion matrix) 이다.
$T$ 는 3x1 이동 벡터(translation vector) 이다.
$0$ 은 1x3 의 $0$ 벡터이고, 1은 스칼라 1이다.

강체 변환에서의 이동 변환은 아래 행렬로 나타낼 수 있다.

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

강체 변환에서의 회전 및 이동이 결합된 변환은 아래 행렬로 나타낼 수 있다. (예시: z-rotation)

\begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} & 0 & t_x \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 0 & t_z \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}