Span(생성), Subspace(부분 공간), Basis(기저)

Span의 정의

$v_1, v_2, v_3, .....v_n$ 의 벡터들이 있을때 Span($v_1, v_2, v_3, .....v_n$) 은 주어진 벡터들의 선형 결합으로 만들 수 있는 벡터들의 집합이다.

두개의 2차원 벡터 $\vec{v_1} = \left[ \begin{matrix} 1\\ 0\\ \end{matrix} \right]$,$\vec{v_2} = \left[ \begin{matrix} 0\\ 1\\ \end{matrix} \right]$ 이 두개의 벡터로 span을 하게 되면 모든 2차원 벡터($x, y$) 를 만들 수 있다.

Subspace의 정의

공집합이 아닌 벡터들의 집합이 스칼라곱과 덧셈에 관하여 닫혀있다면 부분공간(subspace) 이라고 한다.

Subspace 는 Span과 비슷한 개념이라고 생각하면 된다. 왜냐하면 벡터들의 집합{$v_1, v_2, v_3, .....v_n$}이 주어졌을 때 Span($v_1, v_2, v_3, .....v_n$)는 항상 부분공간이기 때문이다.

Basis의 정의

부분공간 $H$를 Fully Span 하면서 선형 독립인 벡터들의 집합을 Basis(기저벡터)라고 한다.
부분공간의 기저 벡터는 Unique 하지 않다는 특성을 가지고 있다.
부분공간 $H$를 2차원 평면 이라고 했을때 Basis로 $\vec{v_1} = \left[ \begin{matrix} 1\\ 0\\ \end{matrix} \right]$,$\vec{v_2} = \left[ \begin{matrix} 0\\ 1\\ \end{matrix} \right]$도 있지만 $\vec{v_1} = \left[ \begin{matrix} 1\\ 0\\ \end{matrix} \right]$,$\vec{v_2} = \left[ \begin{matrix} 1\\ 1\\ \end{matrix} \right]$ 등 여러가지의 기저 벡터가 존재하기 때문이다.

Dimensin of subspace(부분공간의 차원)

부분공간의 차원은 기저의 개수이다.