행렬과 선형결합(Linear combination), 선형변환(Linear Transformation)

행렬과 선형 결합

선형 결합이란 벡터에 스칼라를 곱해준 것들을 더하는것이다.
행렬은 선형 결합과 어떤 관계성을 띄는지 행렬과 벡터의 곱을 통해 알아보도록 하겠다.

행렬과 벡터의 곱이 주어지면 위와 같은 식으로 계산을 할 것이다. 하지만 이를 선형 변환의 관점에서 보면 다음과 같다.

즉, 행렬과 벡터의 곱은 행렬의 열 벡터를 선형 결합하는것으로 볼 수 있다.

선형 변환의 정의

임의의 벡터 $v_1, v_2$가 스칼라 $c$에 대해 변환 $T$가 다음의 두 조건을 만족한다면 변환 $T$는 선형변환이다.

행렬과 선형 변환

이번에도 위와 동일한 행렬과 벡터의 곱을 통해 알아보도록 하겠다.

임의의 2차원 벡터 $\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2}\end{bmatrix}$를 두개의 기저 벡터로 표현 한다면 다음과 같다.

우리는 이미 행렬이 선형 변환$T$가 된다는걸 알수 있으므로 행렬과 벡터의 곱을 아래와 같이 표현할 수 있다.

즉, 행렬과 벡터의 곱은 기저 벡터들의 선형 변환이다.