통계 뿌시기 - 헷갈리는 개념 (중심극한정리, 표본/표준오차)

" 중심극한정리 "

중심극한정리

모집단에서 표본을 추출하여 평균을 구하는 과정을 반복하다보면, 표본의 크기가 충분히 클 때 표본평균들의 분포는 정규분포에 가까워짐

중요성

• 모집단의 분포와 상관없이 모집단의 평균에 대한 추론이 가능

유의할 점

• 표본 ≉ 정규분포, 표본평균들 ≈ 정규분포

필수 조건

• 표본들이 서로 독립이어야 함
• 모집단의 평균과 분산이 유한해야 함
• 표본 크기가 충분히 커야 함

예시

• 주사위 던지기
  • 주사위 1개 : 1,2,3,4,5,6 균등하게 나옴 → 정규분포 아님
  • 주사위 30개 : 대부분 3~4에 몰림 → 정규분포에 가까움
  • 주사위 100개 : 거의 항상 3~5 근처 → 더욱 정규분포에 가까움

오해할 만한 사항

• 오해 1: 표본이 정규분포를 따른다
  • 표본은 그대로, 표본평균의 분포가 정규분포를 따름
• 오해 2: 많이 반복하면 정규분포가 된다
  • 표본의 크기가 클수록 정규분포에 가까워짐
  • 반복 횟수는 분포 모양에 영향을 주지 않음
• 오해 3: 표본의 모든 통계량이 정규분포를 따른다
  • 표본의 평균 또는 합계에만 적용됨
• 오해 4: 표본의 크기가 30개면 무조건 충분하다
  • 30은 경험적 기준일 뿐, 개별 데이터의 분포에 따라 충분한 표본의 크기는 달라짐
    • 대칭 분포 : 2~30개도 충분히 큼
    • 심하게 치우친 분포 : 100개 이상 필요
    • 이상치가 많은 분포 : 수백 개 필요할 수도 있음

활용

• 신뢰구간 계산, 가설검정 등

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" 표본오차와 표준오차 "

표본오차(Sampling Error)

특정 표본의 통계량과 모집단의 모수 간의 실제 차이

예시

• 모집단 평균 키 : 170cm
• 표본 평균 키 : 168cm
• 표본 오차 : -2cm

특징

• 모집단의 모수를 알아야만 계산 가능 (현실적으로 불가능)
• 표본마다 다른 값을 가짐
• 우연에 의해 발생하는 실제 오차

표준오차(Standard Error, SE)

표본 통계량(주로 표본평균)들의 모평균에 대한 표준편차

동일한 크기의 표본을 무한히 추출했을 때, 그 표본평균들이 얼마나 퍼져있는지를 나타냄

계산방법

• 문제 : 실제로는 표본을 한 번만 뽑기 때문에 일일히 계산 불가능
• 해결 : 중심극한정리에 의해 증명된 공식 사용
  • SE = σ/√n (σ: 모집단 표준편차, n: 표본 크기)
  • SE = s/√n (s: 표본 표준편차, n: 표본 크기)
    • 모집단의 표준편차를 모를 때
• 계산식
  
  • 독립인 이유 : 표본이 무작위랜덤추출이기 때문

활용 (신뢰구간 계산)

• 1,000명의 학생 중 100명의 표본 조사
  • 표본 평균 : 73점
  • 표본 표준편차 : 10점
  • 표준 오차 = 10/√100 = 1점
• 해석
  • 만약 100명씩 여러 번 추출한다면, 그 평균들의 표준편차가 약 1점
  • 95% 신뢰구간 : 73 ± Z * SE = 73 ± Z = 약 71~75점
  • 실제 모집단 평균이 71~75점 구간에 있을 확률이 95%

표본 오차와 표준 오차의 핵심 차이점

• 표본 오차는 실제 발생한 오차
  • 표준 오차는 오차의 기대되는 변동성
• 표본 오차의 값은 표본마다 다름
  • 표준 오차의 값은 표본의 개수가 동일하면 고정된 값
• 표본 오차를 구하기 위해서는 모집단의 모수가 필요
  • 표준 오차는 표본만으로 추정 가능
• 표본 오차는 실제 통계에서 활용되지 않음 (모수를 알아야만 구할 수 있기 때문)
  • 표준 오차는 신뢰구간, 가설검정 등에 활용됨

요약

• 표본 오차 : "이번에 뽑은 표본이 실제와 얼마나 빗나갔나"
• 표준 오차 : "표본을 여러 번 뽑는다면 평균적으로 얼마나 빗나갈 것으로 예상되는가"