2. Geometric algebra & Quaternion

SYiee·2023년 7월 24일

IK animation

Inverse Kinemtics (human animation)

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🖤 Geometric algebra 🖤

📌 Geometric Primitive in GA

✔ Bivector

0-dimensional object : scalar & 1-dimensional object : vector.

2-dimensional object : bivector
- 공간을 감싸는 느낌의 벡터
- 이것의 넓이가 magnitute가 된다. 기존 벡터에서 magnitute와 방향이 같으면 같은 것이 되는데 bivector도 똑같다. 즉 차지하고 있는 방향과 가르키는 방향이 같으면 두 bivector는 같은 것이다.

⇒ 즉 벡터는 방향과 magnitude를 이용해 같고 다름을 정의한다.

3D object : trivector & 4D object, and kD object can be defined.

2d에서 bivector을 정의할 때는 왼쪽 회전 오른족 회전 두개 중 하나밖에 없으므로 magnitude가 중요했는데
3d에서는 회전 평면이 엄청 많아진다. 존재할 수 있는 평면 자체는 3d인데 bivector는 평면 위에 존재해야하니 이 평면이 어떤 orientation을 가지냐에 따라 달라진다.

스칼라 배를 하면 그냥 넓이가 스칼라배가 된다. (특징)

bivector를 어떤 축을 기준으로 회전하는 것이라 생각하면 편하다
두개의 bivector가 합쳐지면 어떤 새로운 방향을 가진 bivector가 나온다

Basis Calculation

(2, 3, 4) → 2x + 3y + 4z ⇒ x를 basis라고한다.

bivector도 basis로 표현할 수 있다.

[ there are three bivectors each represents an orthogonalplane in 3D space ]

E3 와 E1 이 직교

✔ Inner product (= dot product)

결과 : scalar Inner product result = length of the projection of one vector onto the other vector = scalar.
두 벡터 사이의 각도를 표현할 때도 많이 사용

The inner product of two vectors : 〈u, v〉
다음과 같은 법칙 성립

✔ Outer product = wedge product, exterior product

내적의 문제는 오리지널 벡터가 무엇이냐의 정보를 잃어버리는 것이었다.
- 둘 다 세타가 같다.
- 내적의 결과를 가지고 어떤 두 벡터의 연산인지 경우의 수가 많아 알기 어렵다
  → 2d에서는 그나마 조금 괜찮은데 3d에서는 더 알기 어렵다. 내적을 한 결과만으로 해당 벡터가 어디로부터 온 것인지 알기가 어렵다
  => 즉,계산 결과로부터 계산 전 벡터를 알기가 어렵다는 것이다.
u ∧ v
→ bivector을 만든다.
→ The orientation of the bivector : 먼저 온 u가 된다.

features

Anti-commutative
→ inner product는 A · B = B · A → 차이점!

Associative (결합법칙)

Distributive (분뱁법칙)

Outer product of two parallel vectors = no parallelogram = 0 Therefore, the outer product of any vector with itself is zero.
→ v ∧ v = 0 : 자기 자신의 외적은 0임 (외적은 sin 으로 표현이 되기 때문 )
→ a · a = $a^2$
bivector ∧ bivector = trivector

↪ Numerical explanation of the outer product

2 dimetional
Cartesian plane $R^2$ 에 해당하는 벡터를 unit vector를 사용해 basis로 표현한다

unit vector
벡터를 unit vector로 표현
두 벡터가 이루는 parallelogram area = determinant

the exterior product of v and w

3-dimensional

e1∧e2∧e3 ⇒ trivector

📌 Geometric Product

💭 Review of Inner product and outer product

✔ Geometric Product의 등장 배경

내적은 어디서 왔느지 알 수가 없다. 각도만 같고 빙글빙글 돌리는 것이 모두 같은 값을 나타낸다. → 문제점
외적은 sin 을 사용해서 30도랑 -30도랑 결과가 달라진다. 주기함수이기 때문에 결과적으로 또 같아지는 부분이 발생한다.

⇒ 이를 해결하기 위해 Geometric Product 가 등장

✔ Combining the inner product and outer product

Adding the inner product and outer product
→ 기존의 product 개념과 다름
→ 어디서 오는지 명확히 알 수 있게 된다.

그런데 스칼라와 바이벡터를 더할 수 있는가?
→ 불가능하다
→ 이것을 가능하게 하기 위해 complex number 를 사용한다.
→ $a + bi = scalar + bivector$
→ bivector 뒤에 i를 붙여서 문제를 해결한다.

✔ Understanding geometric product

The inverse of the vector

uw와 순서를 바꾼 wu를 해주고 이 둘을 더한다

Geometric product of two different basis vectors is simply their outer product:

📌 Rotation with Geometric Algebra

✔ 2D geometric algebra

In linear algebra 2-dimensions : a vector is used and it has two components

In geometric algebra in 2-dimensions : a multi-vector is used and it has four components
→ multi vector : V ( 스칼라 + 벡터 + 벡터 + 바이벡터)
멀티 벡터를 표현할건데 뭔지 잘 모르니까 표현가능한 친구들을 총집합 시키고 앞에다가 상수 붙여서 표현한 것이다.
→ 예를 들어 만약 상수가 없다면 a = 0으로 하여 필요한 것만 표기한다.

pseudoscalar 회전

pseudoscalar
가장 높은 차원 수를 가지는 것에 대한 것
2d에서 highest-grade basis element는 다음과 같다

그리고 이것이 마치 허수처럼 등장을 한다. 이것들의 제곱이 -1이다.

i를 뒤에 박으면 positive / i를 앞에 박으면 negative 회전

rotate a vector 𝑢 by an angle θ

θ 에 회전하고 싶은 값을 넣어서 직접 회전이 가능해진다

Geometric Product

Geometric Product를 할 때 스칼라 + bivector 성립을 하지 않는데 어떻게 해야 하는가?
→ bivector 뒤에 i를 붙임
→ 실제로 밑에 보면 sin에 i 붙음

⇒ i를 붙임으로써 오일러 folmula를 이용해서 하나의 folmula로 바꾸는 것이 가능해진다

⇒ 스칼라 + bivector 가 polar form에서 exponential form 으로 바뀐다.

u와 v가 nomalized vector면 ||u|| , ||v|| = 1이니 $e^{iθ}$ 로 표현가능

Conjugate of the geometric product
- Conjugate : 스칼라는 그대로 두고 i가 붙는 것에 부호를 바꿈
- ex) $(2+3i)^* = 2 - 3i$

원래는 교환법칙이 성립이 되지 않지만 Conjugate 를 해주어서 앞뒤를 바꾸어 빼주는 것이 가능해진다. (아래 사진의 *이 conjugate이다. 지수 자리에 표시되어야 하는데 살짝 중간에 있어서 애매해 보인다..)

✔ Example

θ만큼 회전하는 v
w에다가 uv(회전을 표현하는 geometric product)를 적용해줌 → 뒤에 붙었기 때문에 CCW로 돌아가게 된다.
uv자체가 회전표현이 된다.

🧐 여기까지 정리

u에다가 벡터 y를 곱했을 뿐인데

geometric product라는 포맷을 정의

→ 웻지 프로덕트, 두개 제곱했을 때 -1이 되고 이런걸 정의

이런 몇개의 정의를 하고 뒤에 psuedoscalar를 붙이니까 회전이 표현이 되었다.

그리고 웻지 프로덕트 bivector에 i를 붙여주고, 오일러 포뮬러에의해 θ를 포함하는 회전을 표현하는 식으로 바뀜

이것을 이용해 회전을 표현했더니 두개 이용해서 회전 곱해주는 것만으로도 벡터를 표현해주는 것이 가능해진다.

✔ 3D geometric algebra

In geometric algebra in 3-dimensions, a multi-vector has eight components

멀티벡터 2차원에서는 벡터 2개와 바이벡터로 표현이 되었다.
3차원은 component가 늘어나니 벡터 3개 바이벡터 3개 트라이벡터로 표현한다 → In geometric algebra in 3-dimensions

In 3D, the pseudoscalar

xyz가 i가 되어야 한다.

x에다가 뒤에다가 i를 곱해본다. higest grade basis니까 xyz가 튀어나옴.
→ xx = 1이니 yz가 된다. ⇒ yz는 바이벡터
⇒ 2d에서는 u에다가 i를 곱하면 회전하는 벡터가 튀어나왔는데 쓰리디에서는 회전이 튀어나오게 된다.
임의의 벡터 v에다가 i를 곱하면 어떤 U라는 바이벡터가 나온다.
-v는 Ui로 표현이 가능하다
→ vi = U에서 양변에 i를 곱한것

Therefore, a general 3D multi-vector can be rewritten as follows:

bx + cy + dz → 결국 (b,c,d)이니 그냥 u벡터로 표현
바이벡터를 basis로하는 좀 회전한 것들고 그냥 → vi 로 표현
위의 식을 4개로 간단화한것

cross product

어떤 축을 기준으로 회전을 할 때 많이 사용
로터의 개념과 비슷함
두개 사이의 관계가 존재하는게 여기서 살펴볼 것임

Outer product and cross product

두개의 벡터 uv를 geomatric product를 한다.
→ 앞에 있는 것이 u · v , 뒤에 있는 것이 u ∧ v
웻지 프로덕트는 뒤에 붙는 것이 rotor인데 크로스 프로덕트는 벡터이다.
x에다가 i를 곱하면 xi = xxyz = yz이다. 그래서 i를 곱하면 아래와 같은 결과가 나온다

⇒ 기존의 cross product를 이용해서 표현한 회전이 outer product를 이용해서 사용할 수 있는데 그냥 수도스칼라 붙이면 된다.!

구체적으로 ~

벡터 v를 z-axis를 기준으로 90도 회전
- v = (3, 2, 1)
- v’ = (3, -2, 1)

2d 회전에서 bivector를 기준으로 회전을 했다.
→ v 벡터 뒤에 xy(bivector)를 붙여 회전(CCW)
→ z가 아니고 xyz라는 이상한 trivector가 나오게 된다.
→ 없애주려고 노력을 해본다

conjugate 시켰더니 결과가 똑같아야하는데 예상과 다르게 된다.
→ 뒤에 -zyx가 붙는다!

이번에는 앞 뒤에 다 붙여보자!
→ z는 나왔는데 앞에가 틀렸당.. 세타만큼 두 번 이동했으니 틀림
→ 그러면 앞에서 θ/2 , 뒤에 θ/2 붙이면 되지 않을가?
→ 근데 geometric product에서는 단순히 스칼라를 나누어 버리면 안된다 웻지 product에다가 나눠야한다.
⇒ 이전에 스칼라 + 웻지 프로덕트를 하나의 exponential 로 표현할 수 있었다. 이건 그냥 스칼라처럼 나누기 2 뭐 그렇게 사용했었다.

그렇게 했더니 우리가 원하는 v’이 나왔다

⇒ 3차원에서의 회전은 앞에서도 반만큼 뒤에서도 반만큼해서 움직여주어야 하는구나!

vector v를 angle θ만큼 I라는 plain에서 옮길 때

🖤 Quaternion 🖤

Rotor와 컨셉이 유사하다.

matrix을 이용한 회전의 문제점

보통 rotation을 표현할 때 rotation matrix를 이용해 많이 표현을 한다. rotation matrix 는 z, y, z축 기준 회전인데 이게 직관적이지가 않다. 회전을 정의하기 위해 x축으로는 얼마 회전해야하고, y축으로는 얼마 회전해야하고, … 3개의 축을 기준으로 하기 때문에 이를 모두 정의해주어야 한다.

→ 축 회전은 continuous한 영역에서는 큰 문제가 되지 않는다. 그러나 discrete한 영역으로 보내면 특정 timestamp로 00초 이후의 회전을 나타내는 것인데 각 축들이 원래는 전부 interpolation을 통해 스무스하게 움직여야 하는데 discrete하다 보니 어떨때는 x축 회전이 좀 더 많고 이런 상황이 발생한다. 특히 게임에서 timestamp를 적게 쓰면 cost가 크고 보통 60fps로 고정을 하는데 그러면 회전에서 지글지글함이 보인다.

⇒ 이를 해결하기 위해 Quaternion이나 Rotor을 이용한 회전을 정의하게 된다.

Quaternion 이란?

⇒ 임의의 축을 기준으로 회전을 정의할 수 있는 것

3차원 공간 상에서 회전을 컴팩트 하게 나타내는 것
→ 3차원에서만 사용한다. 다른 새로운 축이 등장하면 이것을 이용한 회전을 표현할 수 없어 Rotor를 사용
특정 축을 기준으로 회전을 표현하는 것
rotation matrices에 비해 compact, efficient, and numerically stable(발산x)
하지만 not intuitive and easy to understand

In a 3-dimensional space, according to Euler’s rotation theorem
→ 어떤 rotation이든 고정된 point에 대한 rigi d body rotation은 고정된 축을 기준으로 몇 도 회전하는 것으로 모두 표현할 수 있다.
Quaternions는 axis-angle representation으로 바꾸어 준다. 임의의 축을 기준으로 몇 도 회전하냐?