내적

Woogie_·2025년 5월 22일

게임 수학

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벡터의 내적 (Dot Product)

벡터의 연산
- 기본 연산
- 유용한 연산
기본 연산이란?
- 벡터 생성에 관여하는 중요한 연산
유용한 연산의 종류
- 벡터와 벡터의 곱 $(a, b, c) \cdot (d, e, f) = (ad, be, cf)$
- 벡터의 내적
- 벡터의 외적 (3차원에서만 성립)

벡터의 내적 (Dot Product)

(a, b) \cdot (c, d) = ac + bd

벡터 내적의 성질
- 교환 법칙 : $\vec{u}\cdot \vec{v}=\vec{v}\cdot \vec{u}$
$(a,b)\cdot (c,d)=ac+bd \\ (c,d)\cdot (a,b)=ca+db \\ \therefore (a,b)\cdot (c,d)=(c,d)\cdot (a,b)$
- 결합 법칙 : $(\vec{u}\cdot \vec{v})\cdot \vec{w}\ne\vec{u}\cdot (\vec{v}\cdot \vec{w})$
- 분배 법칙 : $\vec{u}\cdot (\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot \vec{v} + \vec{u}\cdot \vec{w}$
유용한 벡터 내적의 식

(u+v)\cdot (u+v)=u\cdot u+v\cdot v+2(u\cdot v)\\ (x,y)\cdot (x,y)=x^2+y^2\\ (u+v)\cdot (u+v)=u\cdot u+v\cdot v+2(u\cdot v)=|u|^2+|v|^2+2(u\cdot v)

$\vec{v}=(x,y)$ 의 크기는 $|v|=\sqrt{x^2+y^2}$ 노름(Norm)
$\vec{v}\cdot \vec{v} = |v|^2$

벡터 내적의 코사인 공식

벡터 내적에서 가장 중요한 공식

a\cdot b=|a||b|cos\theta

코사인 공식의 유도

점 B를 원점에 두고 변을 벡터로 설정할 때 각 점의 위치

B=(0,0)\\ C=(|\vec{a}|,0)\\ A=(|\vec{c}|cos\beta, |\vec{c}|sin\beta)

벡터 $\vec{b}$ 의 계산

\vec{b}=(C-A)=(|\vec{a}|-|\vec{c}|cos\beta, |\vec{c}|sin\beta)

벡터 $\vec{b}$ 의 크기를 제곱한 결과는 벡터를 내적한 결과와 동일

|\vec{b}|^2=(|\vec{a}|-|\vec{c}|cos\beta)^2+ |\vec{c}|sin\beta^2\\ =|\vec{a}|^2-2|\vec{a}||\vec{c}|cos\beta+|\vec{c}|cos\beta^2+|\vec{c}|sin\beta^2\\ =|\vec{a}|^2+|\vec{c}|^2-2|\vec{a}||\vec{c}|cos\beta\\ =\vec{b}\cdot \vec{b}

벡터 $\vec{b}$ 를 벡터 $\vec{a}, \vec{c}$ 로 바꾸어 표현

\vec{b}\cdot \vec{b}=(\vec{a}-\vec{c})\cdot (\vec{a}-\vec{c})= (\vec{a}+(-\vec{c}))\cdot (\vec{a}+(-\vec{c}))\\ =|\vec{a}|^2+|\vec{c}|^2-2\vec{a}\cdot \vec{c}

두 식을 비교하면 다음과 같은 결과

-2|\vec{a}||\vec{c}|cos\beta=-2\vec{a}\cdot \vec{c} \\ \therefore \vec{a}\cdot \vec{c}=|\vec{a}||\vec{c}|cos\beta

두 벡터의 크기가 1인 경우

\vec{a}\cdot \vec{b}=cos\theta

벡터 내적의 직교성 판별

벡터의 크기가 0이 아닐 때 내적이 0이 나오는 경우는 코사인 함수가 0 일 때

이는 두 벡터가 서로 직각을 이룰 때만 성립
이러한 두 벡터가 $90\degree$ 를 이루고 있는 성질을 직교성
- 예)
$(cos\theta, sin\theta)$
$(-sin\theta, cos\theta)$
두 벡터가 직교한다는 것을 직접 그림으로 확인하지 않아도 내적으로 증명 가능

(cos\theta, sin\theta)\cdot (-sin\theta, cos\theta)=0

리지드 트랜스포메이션 ( Rigid Transformation )

물체의 형태가 변하지 않는 변환의 조건은 무엇인가?
- 공간을 구성하는 모든 기저 벡터의 크기가 1
- 모든 기저 벡터가 서로 직교하고 있어야 함
- 선형 변환의 행렬식 값이 1
이를 만족하는 변환은 회전 변환

\begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}

따라서 회전 변환은 물체의 형태를 변형시키지 않음

벡터 내적의 활용

앞뒤 판별

벡터 내적의 코사인 공식을 활용해 목표물이 앞에 있는지 뒤에 있는지 파악 가능
사잇각이 $(-90\degree, 90\degree)$ 범위에 있으면 앞에 있음을 의미하고 코사인 함수는 해당 범위에서 항상 양의 값을 가짐

두 벡터를 내적한 결과 값이 양수면 앞에 있고, 음수면 뒤에 있음을 바로 파악이 가능

시야 판별

아래와 같은 상황을 가정

캐릭터에 시야각을 설정하고 목표물이 시야각 내에 있는지 확인

각 $\alpha$ 가 시야각의 절반 값 $\frac{\beta}{2}$ 보다 작다면 목표물은 시야각 내에 위치한다고 볼 수 있다.

그렇다면 이를 어떻게 파악할 수 있을까?

$cos\frac{\beta}{2}$ 값을 미리 구해 저장
시선벡터와 목표물로 향하는 벡터의 크기를 1로 조정한다. 그렇다면 두 벡터의 내적은 $cos\alpha$
코사인 함수는 $(0\degree, 180\degree)$ 범위에서 각이 증가할수록 값이 감소
따라서 두 코사인 함수 값을 비교해 $cos\alpha$ 값이 더 크면 시야범위 내에 있다고 파악

음영 계산

램버트 코사인 법칙 : 물체 표면이 반사하는 빛의 휘도(Luminance)는 표면 방향과 광원 방향의 사잇각의 코사인 값에 비례

이 공식은 셰이더 조명 공식의 가장 기본 식이며 흔히 $N \cdot L$ 로 불림
- $N \cdot L$ 로 명암을 만든 가장 기본적인 셰이더 조명의 결과 화면
  
  출처 : https://docs.unity3d.com/Manual/shader-NormalDiffuse.html

투영 벡터 공식

벡터 $u$ 의 투영 벡터 벡터 벡터 $v'$ 와 $v$ 는 크기만 다를 뿐 같은 방향을 가짐

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벡터 $\hat{v}$ 는 다음과 같이 구할 수 있음

\hat{v}=\frac{v}{|v|}

벡터 $v'$ 의 크기는 코사인 함수를 사용해 구할 수 있음

|v'|=|u|cos\theta

이를 위해서는 사잇각 $\theta$ 를 알아야 한다. 이는 내적으로 구할 수 있음

u\cdot v=|u||v|cos\theta \\ \therefore cos\theta=\frac{u\cdot v}{|u||v|}

이를 대입하면 투영 벡터의 최종 식을 구할 수 있음

v'=\frac{(u\cdot v)\cdot v}{|v|^2}=\frac{(u\cdot v)\cdot v}{(v\cdot v)}

여기서 투영 하려는 벡터의 크기가 1이라면 이 식은 다음과 같이 단순해짐

v'=(u\cdot v)\cdot v

상상을 구현하는 개발자

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