삼각함수

삼각함수 (Trigonometric function)

직각삼각형 (Right-Angled Triangle)의 삼요소

삼각비 (Trigonometric Ratio)

• 직각 삼각형을 구성하는 세 요소 중 두 요소에 대한 비의 값

$sin=\frac{Opposite}{Hypotenuse}$

$cos=\frac{Adjacent}{Hypotenuse}$

$tan=\frac{Opposite}{Adjacent}$

삼각함수 (Trigonometric Function)

• 삼각비를 집합의 관점에서 대응 관계로 나타낸 것
• 정의역 : 실수 집합 $\mathbb{R}$
• 공역 : [-1, 1]

삼각함수와 단위 원

출처 : https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Circle_cos_sin.gif

코사인과 사인 함수의 성질

1. 사인 함수와 코사인 함수는 항상 [-1, 1] 범위를 일정하게 반복되는 패턴을 갖는다.
2. 사인과 코사인 함수는 2π(360°) 단위로 반복된다.
3. 축을 기준으로 좌우를 포갰을 때 코사인 함수는 데칼코마니처럼 좌우 대칭인 반면, 사인 함수는 상하가 반전된 형태를 가진다.

• 탄젠트 함수는 cos90°, cos270°에서 해를 가지지 않는다

삼각함수의 유용한 공식

• 직각 삼각형 = 피타고라스의 정리

• 원의 반지름 값이 r인 경우, 원호의 좌표는 $(cos\theta, sin\theta)$ 벡터에 r배 한 결과가 나옴

• 삼각비를 이루기 때문에 위의 공식은 유효
  $r^2cos^\theta+ r^2sin^\theta=r^2 \\ \therefore cos^2\theta+sin^2\theta=1$

• 반지름 r인 원호에 위치한 좌표의 분해
  $r\cdot(cos\theta,sin\theta)=(r\cdot cos\theta,0)+(0,r\cdot sin\theta)$

• 실벡터공간 $\mathbb{R}^2$의 표준 기저 벡터 = 각의 값이 $0\degree$와 $90\degree$에 해당하는 벡터를 의미

  $e_1 =(cos0\degree, sin0\degree)=(1,0)\\ e_2=(cos90\degree, sin90\degree)=(0,1)$

각의 측정

• 각도법 (Degree)
• 호도법(Radian)

각도법(Degree)

• 원을 360개로 균일하게 나누고 $\degree$를 사용해 각을 표현
• 왜 360 인가?
  • 약수가 많이 나오는 수이기 때문에 원을 쪼개서 계산할 때 유용

호도법 (Radian)

• 하지만 $1\degree$ 를 단위로 삼아 원래 관련된 수학을 전개했을 때 불편한 점 많음
• 따라서 별도의 단위를 정하고 이를 기준으로 원에 대한 수학을 전개하는 것이 일반적

호도법의 원리

• 반지름이 1인 반원의 왼쪽 좌표를

1. 원점으로 옮기고

2. 원호를 오른쪽으로 펼치면? ⇒ 무리수가 나온다. 이것이 바로 $\pi$

3. $\pi$중에서 길이가 1인 만큼만 거꾸로 되감는다. ⇒ 이 때 나오는 각 역시 무리수가 됨

• 이것이 호도법의 단위인 래디안($rad$)

• $\pi$만큼 되감으면 $180\degree$에 해당하는 반원이 채워짐

• 이로부터 유도되는 호도법과 각도법의 관계는 다음과 같음

  $180\degree =\pi (rad) \\ 1\degree = \frac{\pi}{180}(rad)\\ 1(rad)=\frac{180}{\pi}\degree$

• 자주 사용하는 각도에 대응하는 호도값

  $90\degree=\frac{\pi}{2}(rad) \\ 60\degree=\frac{\pi}{3}(rad) \\ 45\degree=\frac{\pi}{4}(rad) \\ 120\degree=\frac{2\pi}{3}(rad)$

벡터의 회전 (Rotation of Vector)

• 표준 기저벡터를 사용한 실벡터공간 $\mathbb{R}^2$의 원소 $(x,y)$의 생성 방법

  $(x,y)=x(1,0)+y(0,1)$

• 이 때 표준기저벡터로 이루어진 벡터 공간 $\mathbb{R}^2$의 두 기저 벡터가 새로운 값으로 변함

• 면 벡터 공간의 원소 $(x, y)$는 새로운 두 기저 벡터에 각각 $x$와 $y$를 곱한 벡터에 대응

• 이 때 새로운 두 기저 벡터가 크기가 1, 직교하는 상태와 현재 방향을 유지하면서 변형하는 것을 회전 변환이라 함.

• 각 $\theta$만큼 발생한 회전 변환을 통해 임의의 벡터 변화 예시
  $e_1\mapsto (cos\theta, sin\theta)\\ e_2\mapsto (-sin\theta, cos\theta)$

$v=(x,y)=x\cdot e_1+y\cdot e_2 \\ v'=x\cdot (cos\theta, sin\theta)+y\cdot (-sin\theta, cos\theta) \\ =(xcos\theta-ysin\theta, xsin\theta+ycos\theta)$

삼각함수의 역함수 (Invers trigonometric functions)

• 역함수가 존재하기 위해서는 해당 함수는 전단사 함수여야 함

• 하지만 $sin, cos, tan$는 전단사함수가 아님. 왜냐하면 단사가 아니기 때문

• 따라서 $sin, cos, tan$함수를 단사함수로 만들기 위해 의도적으로 정의역의 값을 제한

• 그렇다면 전단사함수가 되어 역함수가 존재 가능

  • 사인 함수가 전단사 함수가 될 수 있는 정의역 구간은? : $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

  • 코사인 함수가 전단사 함수가 될 수 있는 정의역 구간은? : $[0, \pi]$

  • 탄젠트 함수가 전단사 함수가 될 수 있는 정의역 구간은? $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$

    • 참고) [] : inclusive, () : exclusive

• 위의 범위에서 정의한 역함수를 아크사인, 아크코사인, 아크탄젠트 함수라고도 부름

  $y=sin(x) \\ y=sin^{-1}(x) \\ y=arcsin(x)$

삼각함수의 역함수

역함수가 다루는 각의 범위

• 아크코사인함수의 치역 : $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
• 아크코사인 함수의 치역 : $[0, \pi]$
• 아크탄젠트 함수의 치역 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$

아크탄젠트 함수의 활용

• 두 삼각형은 다른 삼각형이고 다른 각을 가지지만 탄젠트 값은 동일

• 하지만 부호정보를 추가로 전달할 수 있다면? -> 둘의 구분이 가능
• 따라서 특별한 탄젠트의 역함수를 사용. 그것이 $atan2(y,x)$ 함수
• 어떤 벡터의 각을 알고 싶다면 탄젠트의 역함수 $atan2$를 사용

5. 극 좌표계 (Polar Coordinate)

데카르트 좌표계에서 극 좌표계로 변환

$$r=\sqrt{x^2+y^2}$

$\theta = atan2(y,x)$$

극 좌표계에서 데카르트 좌표계로 변환

$x=r\cdot cos\theta \\ y=r\cdot sin\theta$

극 좌표계 활용 예시