선형독립

1. 벡터의 생성 (Span) 시스템

선형 조합 (Linear Combination)

• 벡터의 기본 연산을 사용해 새로운 벡터를 생성하는 수식

  $v'=a_1 v_1+a_2 v_2+a_3 v_3+⋯+a_n v_n$

선형 의존과 선형 독립의 수학적 정의

• 다음 수식을 만족하는 0이 아닌 계수가 존재하면 수식 내 벡터들은 선형 의존

  $a_1 v_1+a_2 v_2+a_3 v_3+...+a_n v_n=\vec{0}$

• 다음 수식을 만족하기 위해 어떤 계수 값이 0이라면 수식 내 벡터들은 선형 독립

  $a_1 v_1+a_2 v_2+a_3 v_3+...+a_n v_n=0$

문제) (1, 1)과 (2, 2)는 선형 의존인가 선형 독립인가?

$a_1(1,1)+a_2(2,2)=\vec{0}$

a1 = 2, a2 = -1을 사용하면 영 벡터가 만들어진다.
0 이 아닌 계수를 사용하여 영벡터를 만들어 낼 수 있다.
따라서 두 벡터 (1, 1) 과 (2, 2)는 선형 의존이다.

문제) (1, 2)와 (2, 1)은 선형 의존인가 선형 독립인가?

• 위 식은 다음과 같은 연립 방정식으로 정리할 수 있다.

  $a_1(1,2)+a_2(2,1)=(a_1+2a_2,2a_1+a_2)\\ a_1+2a_2=0 \\ 2a_1+a_2=0$

위 식을 만족하는 값은 a1 = 0, a2 = 0 뿐이다. 따라서 두 벡터 (1, 2)와 (2, 1)는 선형 독립이다.

선형 조합으로 새로운 벡터 생성하기

• 벡터 (5, 5)를 두 벡터의 조합으로 생성하는 방법

$(5, 5) = 5 · (1, 0) + 5 · (0, 1)$ 로 생성하기

• 또는

$(5, 5) = 1 · (1, 3) + 2 · (2, 1)$로 생성하기

• 그렇다면 두 벡터 (2, 1)과 (1, 3)을 조합해 평면 위의 모든 벡터의 생성이 가능한가?

• 이를 수식으로 나타내면

  $(x, y) = a(2, 1) + b(1, 3)$

• 위 수식은 다음의 연립 방정식으로 변경할 수 있다.

  $x = 2a + b y = a + 3b$

• 위 식에서 a와 b를 구할 수 있기 때문에 모든 점의 생성이 가능

• 그렇다면 모든 두 벡터의 조합은 평면의 모든 점을 생성할 수 있을까?

  • 벡터 (1, 2)와 (2, 4)의 경우

  $(x , y) = a(1, 2) + b(2, 4)$

  • 이 경우 다음의 연립방정식으로 변경 가능

    $x = a + 2b y = 2a + 4b$

  • 이 경우에는 해가 존재하지 않고 오직 (x, 2x) 형태의 벡터만 생성 가능

  • 이를 그림으로 나타내면 다음과 같음

• (2, 4)는 (1, 2)의 스칼라 곱으로 표현 가능하므로 위 수식은 사실상 (1, 2)의 스칼라 곱으로 표현되기 때문에 벡터 (1, 2)의 기울기와 동일한 벡터만 생성되기 때문

  $(x, y) = a(1, 2) + b(2, 4) = a(1, 2) + 2b(1, 2) = (a + 2b)(1, 2)$

기저 (Basis)와 차원 (Dimension)

• 기저 (Basis) : 벡터 공간 내 모든 벡터를 생성할 수 있는 선형 독립인 벡터들의 집합

• 기저 벡터 (Basis Vector) : 기저 집합에 속한 원소

• 차원 (Dimension) : 기저 집합이 가지는 원소의 수

• 2차원 평면을 생성하기 위해서는 항상 두 개의 기저 벡터를 가짐

• 앞서서 (5, 5)를 만들기 위한 벡터의 조합은 두 가지가 있었음

  $B_1 : (1,0) , (0,1) \\ B_2 : (2,1) , (1,3)$

• $B_1,B_2$ 모두 평면의 기저가 될 수 있고 무난히 많은 기저에 대한 경우의 수가 존재하지만, 기저 집합의 원소의 수는 언제나 두 개로 동일

• 기저가 하나라면 벡터와 스칼라의 곱셈 성질로 인해 하나의 선에 해당하는 벡터만 생성할 수 있고, 세 개 이상인 경우에는 선형 독립을 만족하지 못하기 때문

• 앞선 식에서 두 선형 독립인 벡터로 평면 상의 모든 점을 생성할 수 있음을 알 수 있음

• 그렇다면 아래의 식의 경우 0벡터를 만들기 위해 0이 아닌 세 번째 계수가 존재한다는 것을 의미

  $(a_1v_1+a_2v_2)+a_3v_3=0\\ (-a_3v_3)+a_3v_3=0$

• 따라서 평면에서 세 개 이상의 원소를 구성된 기저는 존재하지 않음을 알 수 있음

• 실 벡터 공간을 표기할 때 이러한 차원의 정보를 사용해 첨자를 붙여 다음과 같이 표현

  $\R^2, \R^3$

표준 기저 벡터 (Standard basis Vector)

• 기저벡터 중에서 가장 기본이 되는 벡터.
• $\mathbb{R}^2$의 표준 기저벡터 $e_1 :(1,0) \quad e_2 : (0,1)$
• $\mathbb{R}^3$의 표준 기저벡터 $e_1 :(1,0,0) \quad e_2 : (0,1,0) \quad e_3 : (0,0,1)$