5. 불 대수

5.5.2. 최대항(Canonical Forms - Maxterm)

Maxterm은 똑같은 literal들이 or(+)로 연결되어 있는 것을 이야기 한다. 추가적으로 Minterm에서는 literal의 불식이 1이 되도록 만들었다면 maxterm에서는 literal의 불식을 0으로 만들도록 한다.(반대이다)

진리표로 각 literal을 표현하면 위와 같이 표현될 수 있는데 여기에서 한가지 이상한 점은 minterm에서는 0은 x'으로 1은 x로 표현하였다. 하지만 어째서인지 여기에서는 그것의 정확한 반대이다.

이를 설명하기 위해 아래에서 이야기 하겠지만 1-maxterm 은 1-minterm에 보수를 취한 형태이다. 그렇기 때문에 literal을 표현하는 방식역시 아예 반대가 된 것이다.

정리하면 맥스텀은 x=0이고 x'=1 이다.
POS는 결과가 0인 것만 구한 0-maxterm 형태이다.

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Product of Maxterm

Product of 0-Maxterm은 불식을 표현하는 방식으로 unique property의 특징을 가지게 된다.

이렇게 0-maxterm을 모두 곱하여서 불식을 표현할 수 있다. 앞에서도 말했듯이 minterm과 maxterm은 보수의 관계를 가진다. 그렇기 때문에 1-maxterm이용한 것이 아닌 0-maxterm을 이용하여 구했다는 이야기가 나오는 것이다.

참고로 minterm은 Sum of minterm이라고 부르고 maxterm은 Product of Maxterm이라고 부른다.

5.5.3. Minterm and Maxterm Expansions

minterm과 maxterm은 모든 것이 보수의 관계를 가진다.

예시>
F1=x’yz+xy’z+xyz’+xyz
이제 한번 위와 같은 1-minterm 수식을 maxterm으로 바꾸어 보자

(F1)' = (x’yz+xy’z+xyz’+xyz)’ = (x+y’+z’)(x’+y+z’)(x’+y’+z)(x’+y’+z’) = M3 M5 M6 M7

과 같이 minterm 수식에 보수를 취하여서 구해줄 수 있다. 1-minterm의 보수이기 때문에 결과값은 0이 나와야 한다. 따라서 나온 결과물은 0-maxterm이라고 한다.

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F1 = (F1')' 을 0-minterm으로 표현한다음 POS(Product of Maxterms)으로 표현할 수 있다.

이와 같이 0-minterm에 보수를 취하여서 F1을 구하게 되었는데 M0 M1 M2 M4의 minterm과 maxrerm은 보수의 관계를 가지기 때문에 위의 수식은 1-maxterm이라고 볼 수 있다.

세상에 보수를 취하였을 뿐인데 수식과 용어가 완전히 반대가 되었다.
여기에서 한번대 생각해 보아야 하는 것이 1-minterm을 1-maxterm으로 바꾼다고 하면
1. 1-minterm 의 F1 불 식을 가지고 와서
2. 이것의 반대 즉 0-minterm을 찾아내고
3. 찾아낸 수식에 보수를 취해주었을 때 드디어 1-maxterm을 찾아낼 수 있다.

그래서 결론적으로 minterm과 maxterm을 뭘하든 보수의 관계를 가진다는 것을 이해할 수 있으리라리온마더파더오빤강남스타일... 믿는다.

etc) Conversion of English Sentences to Boolean Equations

이제 우리가 실재로 표현된 영어 표현을 불식으로 바꾸는 것에 대해서 생각해 보자

The alarm will ring(Z) iff the alarm switch is turned on(A) and the door is not closed(B’), or it is after 6PM(C) and window is not closed(D’)

와 같은 말이 있다고 하자

이것의 Boolean Function Z는
Z=AB'+CD'으로 나타낼 수 있을 것이다.

From the Truth Table to Algebraic Expression

진리표에서 boolean expression으로 바꾸는 것에 대해서 알아보자

• 최소의 POS 표현을 찾는 방법

1. Truth Table에서 SOM/SOP(Sum of 0-Minterm)을 찾는다. 그리고 Simplify 해놓는다.

000	0
001	1
010	1
011	1
100	1
101	1
110	0
111	0

F' = a'b'c'+abc'+abc = a'b'c'+ab
F'을 구하는 이유는 보수를 취할 예정이기 때문이다.

2. 드모르간 규칙을 사용하여서 F를 구한 다음에 POM/POS(Product of Maxterm)을 구한다.
   (F')'=(a'b'c'+ab)' = (a+b+c)(a'+b')
   .
   그러면 최소의 POS를 찾을 수 있다. 이 방법은 차후 카르노맵에서도 동일하게 사용될 것이다.

그렇다면 이렇게 함수식을 구할때 입력값(input) n에 따라 얼마나 많은 F를 구할 수 있을까?

variables	Terms
1	4
2	16
3	256
4	65536
5	4294967296

etc) Other Logic Operations

한 번 살펴보고 가자