[선형대수학] Vector & Matrix

Vaughan·2022년 7월 29일
linearalgebra선형대수학
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선형대수학

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Vector

definition

representation of multiple numbers to deal with the numbers more systematically.

-수를 보다 체계적으로 다루기 위해 여러개의 숫자들을 모아둔 표현

기초 개념

벡터의 종류

  • 세로로 요소들을 모아둔 column vector (열벡터)
  • 가로로 요소들을 모아둔 row vector (행벡터)

n차원 벡터 ? : n개의 요소들을 가지는 벡터

그래프상에서 Vector의 표현방법

  • 공간상의 한 점
  • 원점에서 시작해 해당 위치에서 끝나는 화살표 

Vector Operation

addition

  • 같은 위치에 있는 요소끼리 더한다. (동일한 차원의 벡터들끼리만 연산을 할 수 있다.)
  • 그래프 상에서는 마름모기법/삼각기법을 사용해 표현할 수 있다.
[a1a2⋮an]+[b1b2⋮bn]=[a1+b1a2+b2⋮an+bn]∈Rn\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ \vdots \\ a_n + b_n \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^n

scalar mutiplication

  • 벡터에 스칼라 값이 곱해지면, 벡터의 모든 요소에 스칼라 양을 곱해준다.
  • 그래프 상으로는 기존 벡터와 동일한 선상에서 스칼라 배 만큼 길어지거나 줄어든다.
c[x1x2⋮xn]=[cx1cx2⋮cxn]c \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cx_1 \\ cx_2 \\ \vdots \\ cx_n \end{bmatrix}

linear combination (선형결합)

  • 두 벡터의 스칼라 곱의 합
  • 임의의 두 실수 c와 d를 이용하여 두 벡터의 선형결합한 요소들을 모두 모으면, n차원 공간을 이룬다.
c[x1x2⋮xn]+d[y1y2⋮yn]=[cx1+dy1cx2+dy2⋮cxn+dyn]c \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} + d \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} cx_1 + dy_1 \\ cx_2 + dy_2 \\ \vdots \\ cx_n + dy_n \end{bmatrix}

dot product (도트곱/내적)

  • 두 벡터에서 같은 위치에 있는요소끼리 곱한 값들을 모두 더한 것
  • 두 벡터의 연산결과로 실수 스칼라값을 얻을 수 있다.
v⋅w=∑i=1nviwiv \cdot w = \sum^n_{i=1}v_iw_i

길이와 각도

vector의 length 구하기

  • 자기자신에 대한 내적의 제곱근 값 (피타고라스)
    ∣∣v∣∣=v⋅v=∑i=1nvi2||v||=\sqrt{v \cdot v} = \sqrt{\sum^n_{i=1} {v_i}^2}
  • ∣∣ ∣∣||\ || 기호의 성질
    • 스칼라양에 절댓값을 씌워 밖으로 꺼낼 수 있음
    • 항상 0보다 같거나 큼
    • 삼각부등식
      ∣∣v+w∣∣≤∣∣v∣∣+∣∣w∣∣||v+w|| \leq ||v||+||w||

두 벡터사이의 각

cos⁡θ=v⋅w∣∣v∣∣ ∣∣w∣∣\cos\theta = \frac{v\cdot w}{||v||\ ||w||}

unit vector

  • 길이가 1인 벡터
  • 기존벡터를 벡터의 크기만큼 나눠준다. ( nomarlize : 정규화 과정)
v∣∣v∣∣\frac{v}{||v||}

Matrix 

definition

collection of vectors.

-벡터 여러개를 모아서 표현한 구조

만약 mxn행렬에서 m또는 n이 1이라면, 벡터로 생각할 수 있다.

행렬의 종류

square matrix : 열과 행의 크기가 같은 행렬

transpose matrix : 기존 행렬의 행과 열을 바꾼 행렬

  • transpose의 성질

    • 행렬들의 합의 전치는 각각의 행렬을 전치시킨 것들의 합과 같다.
    • 행렬들의 곱의 전치는, 각각의 행렬을 전치시켜 순서를 바꾼 곱과 같다
    • 전치행렬의 전치는 원래행렬과 같다.
      (A+B)T=AT+BT(AB)T=BTAT(AT)T=A(A+B)^T = A^T + B^T \\ (AB)^T = B^TA^T \\ (A^T)^T = A

  • 외적과 내적의 전치표현

    v⋅w=vTwv⊗w=vwTv \cdot w = v^Tw\\ v \otimes w = vw^T

identity matrix : 대각선상 요소만 1이고 나머지는 모두 0인 행렬

  • 성질
AI=AIA=AAI = A \\ IA = A
  • 형태
[1001][100010001][10⋯001⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯1]\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}

permutaion matrix

  • identity matrix의 열이나 행의 순서를 뒤바꾼 행렬
  • 성질
    • 어떤 행렬의 왼쪽에 곱해지면,  row의 순서를 뒤섞는다.
    • 어떤 행렬의 오른쪽에 곱해지면, column의 순서를 뒤섞는다.

diagonal matrix

  • 0이 아닌 값이 대각선상에만 존재하는 행렬 (=대각선상에 위치한 요소가 아니면 모두 0을 요소로 가진다.)

  • 성질

    • 어떤 행렬의 왼쪽에 곱해지면, row의 각 요소에 diagonal matrix에서 동일한 row에 위치한 대각요소의 값만큼 곱한다.

    • 어떤 행렬의 오른쪽에 곱해지면, column의 각 요소에 diagonal matrix에서 동일한 column에 위치한 대각요소의 값만큼 곱한다.

      대각성분이 아닌 요소가 0이기 때문에 행렬곱에 영향을 주지 않기 때문에 성립하는 성질

inverse matrix

  • 기존행렬에 곱한 결과가 identity matrix가 되는 행렬
  • 성질
    • AA−1=IA−1A=IAA^{-1} = I \\ A^{-1}A = I
    • (A−1)T=(AT)−1(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}

rotation matrix & reflection matrix

  • rotation matrix : θθ 각도만큼 회전시킨다. 

    [cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}

  • reflection matrix : xx축과 이루는 각도가 θθ인 직선을 기준으로 기존의 벡터를 반사시킨다.

    [cos⁡2θsin⁡2θsin⁡2θ−cos⁡2θ]\begin{bmatrix} \cos2\theta & \sin2\theta \\ \sin2\theta & -\cos2\theta \end{bmatrix}

→ 위 행렬들은 orthogonal 행렬이기 때문에 행렬곱을 통한 연산(선형변환) 전후의 벡터의 성질은 변화하지 않는다.

*orthogonal행렬: 행렬의 각 column이 서로 직교하며, 정규화된 벡터인 행렬 (뒤에서 설명)


행렬의 연산

행렬합

  • 크기가(m×nm\times n) 동일한 두 행렬의 합은, 각각의 행렬의 동일한 위치에 있는 요소들의 합으로 새로운 행렬을 만들어낸다.
  • 연산법칙 성질
    • 교환법칙 성립
    • 결합법칙 성립
    • 스칼라 값을 사용하여 분배 법칙 가능

Multiplication : 행렬곱

  • 앞 행렬의 열의 개수와, 뒷 행렬의 행의 개수가 동일할 때 곱할 수 있다.
    (m×n)×(n×p)=m×p(m\times n) \times (n\times p) = m\times p
  • 행렬곱의 결과로 나타나는 행렬의 (i,j)(i,j) 요소는, 앞 행렬의 ii행의 요소들 ×\times 뒷행렬의 jj열의 요소들의 합과 같다.
AB=[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn][b11b12⋯b1pb21b22⋯b2p⋮⋮⋱⋮bn1bn2⋯bnp] =[∑k=1na1kbk1∑k=1na1kbk2⋯∑k=1na1kbkp∑k=1na2kbk1∑k=1na2kbk2⋯∑k=1na2kbkp⋮⋮⋱⋮∑k=1namkbk1∑k=1namkbk2⋯∑k=1namkbkp]∈Rm×pAB = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1p} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{np} \end{bmatrix} \\ \ \\ = \begin{bmatrix} \sum^n_{k=1} a_{1k}b_{k1} & \sum^n_{k=1} a_{1k}b_{k2} & \cdots & \sum^n_{k=1} a_{1k}b_{kp} \\ \sum^n_{k=1} a_{2k}b_{k1} & \sum^n_{k=1} a_{2k}b_{k2} & \cdots & \sum^n_{k=1} a_{2k}b_{kp} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \sum^n_{k=1} a_{mk}b_{k1} & \sum^n_{k=1} a_{mk}b_{k2} & \cdots & \sum^n_{k=1} a_{mk}b_{kp} \end{bmatrix} \in \mathbb R ^{m\times p}
  • 연산법칙 성질
    • 교환법칙 불가
    • 결합법칙 성립
    • 분배법칙 성립

Multiplication의 의미

  • AxAx : xx를 AA의 column(C(A)C(A))을 이용하여 선형변환시킨다.
    -> AA의 각각의 column 벡터를 하나의 스칼라값으로 취급해서 계산해도 그 결과는 동일하다.

  • xAxA : xx를 AA의 row(C(A)TC(A)^T))을 이용하여 선형변환 시킨다.


Linear equation

선형 (연립)방정식을 행렬과 벡터의 multiplication으로 표현한 것

  • 각 방정식의 계수를 나타내는 행렬 AA
  • 각 미지수들을 모아둔 벡터 xx
  • 각 방정식의 해를 모아둔 벡터 bb
Ax=bAx = b

→ 선형방정식은, 미지수를 행렬 A의 column들의 선형결합으로 해인 b를 만들어내는 방법을 생각하는 것과 동일한 의미를 가진다. 

ex) 다음 방정식을 행렬과 벡터로 표현

{x1+3x2+4x3=2x1+7x2−x3=−1x1+4x2+x3=5 ⇓ [13417−1141][x1x2x3]=[2−15]\begin{cases} x_1 + 3x_2 + 4x_3 = 2 \\ x_1 + 7x_2 - x_3 = -1 \\ x_1 + 4x_2 + x_3 = 5 \end{cases} \\ \ \\ \Downarrow \\ \ \\ \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 1 & 7 & -1 \\ 1 & 4 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{bmatrix}
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Vaughan
우주의 아름다움도 다양한 지식을 접하며 스스로의 생각이 짜여나갈 때 불현듯 나를 덮쳐오리라.
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