[확률과 통계] 순열/조합

Kyeongmin·2023년 3월 18일
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수학

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순열

  • 정의 : 서로 다른 원소를 가진 집합에서 중복이 없고 순서와 상관 있게 선택하는 경우의 수
  • 공식
    : nPr=_nP_r = 서로 다른 n개의 원소에서 r개를 중복 없고 순서와 상관 있게 선택하는 경우의 수
    nPr=n!(nr)!_nP_r = {n! \over (n-r)!}
  • 예시
    • 문제 : A, B, C, D 네 명의 학생이 시험을 치르고, 1위부터 3위까지를 뽑는 경우
    • 풀이
      • 4명 중에서 3명을 뽑아서 순서대로 나열하는 것이므로 순열을 사용
      • 4P3=4!(43)!=4×3×2×1=24_4P_3 = {4! \over (4-3)!} = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24

중복 순열

  • 정의 : 서로 다른 원소를 가진 집합에서 중복을 허용하고 순서와 상관 있게 선택하는 경우의 수
  • 공식
    : nΠr=_n\Pi_r = 서로 다른 n개의 원소에서 r개를 중복을 허용하고 순서와 상관 있게 선택하는 경우의 수
    nΠr=nr_n\Pi_r = {n^r}
  • 예시
    • 문제 : 0 ~ 9까지의 숫자로 4자리 비밀번호를 만드는 경우
    • 풀이
      • 총 10개의 숫자로 4자리 비밀번호를 만들 때,
        같은 수를 여러번 사용할 수 있기 때문에 중복 순열을 사용
      • 10Π4=104=10,000_{10}\Pi_4 = {10^4} = 10,000

조합

  • 정의 : 서로 다른 원소를 가진 집합에서 중복이 없고 순서와 상관 없이 선택하는 경우의 수
  • 공식
    : nCr=_nC_r = 서로 다른 n개의 원소에서 r개를 중복 없고 순서와 상관 없이 선택하는 경우의 수
    nCr=n!(nr)!×r!_nC_r = {n! \over (n-r)!\times r!}
  • 예시
    • 문제 : 1부터 10까지의 수 중에서 3개를 뽑는 경우
    • 풀이
      • 10개 중 3개를 뽑아 나열하는 것이 아니라 단순히 3개를 뽑는 경우이기 때문에 조합 사용
      • 10C3=10!(103)!×3!=10!7!×3!=10×9×83×2×1=7206=120_10C_3 = {10! \over (10-3)!\times 3!} = {10! \over 7!\times 3!} = {10 \times 9 \times 8 \over 3 \times 2 \times 1} = {720 \over 6} = 120

중복 조합

  • 정의 : 서로 다른 원소를 가진 집합에서 중복을 허용하고 순서와 상관 없이 선택하는 경우의 수
  • 공식
    : nHr=_nH_r = 서로 다른 n개의 원소에서 r개를 중복을 허용하고 순서와 상관 없이 선택하는 경우의 수
    nHr=n+r1Cn1=n+r1Cr_nH_r = \, _{n+r-1}C_{n-1} = \, _{n+r-1}C_{r}
  • 예시
    • 문제 : 주사위를 3번 던져서 1부터 6까지의 수 중에서 중복을 허용해 숫자 3개를 선택하는 경우
    • 풀이
      • 주사위의 숫자 6개 중 3개를 중복을 허용하여 선택하기 때문에 중복 조합 사용
      • 6H3=6+31C61=8C5=8!3!×5!=8×7×63×2×1=3366=56_6H_3 = \, _{6+3-1}C_{6-1} = \, _{8}C_{5} = {8! \over 3!\times 5!} = {8 \times 7 \times 6 \over 3 \times 2 \times 1} = {336 \over 6} = {56}
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