[선형대수학] 벡터의 개념

1. 스칼라와 벡터

• 스칼라(Scala) : 크기(또는 양)만으로 표현되는 값
  • 기호 : $x, y$
  • 예시 : 온도, 시간, 질량
• 벡터(Vector) : 크기와 방향으로 표현되는 값
  • 기호 : $\vec{x}, \vec{y}, \bm{x}, \bm{y}$
  • 예시 : 속도, 힘, 변위

2. 벡터 연산

벡터도 동일하게 산술 연산이 가능하다.

2-1) 벡터의 덧셈 / 뺄셈

• 덧셈
  : $\vec{v} + \vec{w}$ 를 구할 때, $\vec{w}$ 의 꼬리(시작점)을 $\vec{v}$ 의 머리(끝점)에 위치 시킨 뒤
  $\vec{v}$ 의 꼬리부터 $\vec{w}$ 의 머리까지 이어진 $\vec{z}$ 를 $\vec{v} + \vec{w}$ 라고 한다.
  $\vec{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix}\quad,\quad \vec{w} = \begin{bmatrix} 2 \\ 7 \\ \end{bmatrix}$
  $\vec{v} + \vec{w} = \begin{bmatrix} 1 + 2 \\ 2 + 7 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 9 \\ \end{bmatrix}$
• 뺄셈
  : $\vec{v} - \vec{w}$ 를 구할 때, $\vec{w}$ 의 머리(끝점)부터 $\vec{v}$ 의 머리(끝점)까지 이어진 $\vec{z}$ 를 $\vec{v} - \vec{w}$ 라고 한다.
  $\vec{v} - \vec{w} = \begin{bmatrix} 1 - 2 \\ 2 - 7 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -5 \\ \end{bmatrix}$

스칼라 곱셈: 여기서는 벡터에 스칼라(일반 숫자)를 곱합니다. 결과는 스칼라가 음수가 아닌 한 크기는 변경되었지만 방향은 변경되지 않은 벡터입니다.

2-2) 벡터의 스칼라 곱

: 벡터에 스칼라(일반 숫자)를 곱할 수 있으며, 스칼라의 값만큼 벡터의 크기가 변하게 되고
스칼라가 양수이면 방향은 그대로, 음수인 경우 반대가 된다.

3. 단위 벡터란?

• 크기(또는 길이)가 1인 벡터를 말한다.
  (좌표계에서 $x, y, z$ 방향의 단위벡터를 $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ 로 표현한다.)

• 단위 벡터를 사용하는 이유
  • 방향의 표현 : 크기에 영향을 받지 않고 방향을 나타내는 데 사용
    (방향은 중요하지만 크기는 필요하지 않은 경우)
  • 계산의 단순화 : 크기를 1로 표준화하고 방향 정보만 사용하여 계산을 단순화하는데 사용
    (다수 벡터를 사용하여 작업할 때 유용)

• 단위 벡터 계산 방법
  : 특정 벡터 $\vec{v}$ 가 주어졌을 때, 단위 벡터 $\vec{u} = \frac{\vec{v}}{∣∣\vec{v}∣∣}$ 로 계산 가능
  $\vec{v} = \begin{bmatrix} -4 \\ 5 \\ \end{bmatrix} \quad , \quad ||\vec{v}|| = \sqrt{(-4)^2 \, + \, 5^2} = \sqrt{41}$