[선형대수학] 선형결합과 부분공간

1. 선형 결합(Linear Combination)

• 벡터의 스칼라배들이 합으로 연결되어 있는 상태.
• 벡터 집합 $V = \{\vec{v_1}, \vec{v_2}, \cdots, \vec{v_n}\}$ 와 스칼라 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 의
  선형 결합은 $a_1\vec{v_1}, a_2\vec{v_2}, \cdots, a_n\vec{v_n}$ 으로 나타낸다.

2. 선형 생성(Linear Span)

• 주어진 벡터들의 선형 결합으로 만들 수 있는 모든 벡터들의 집합
• $\vec{v_1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \,, \, \vec{v_2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$ 선형 결합으로 만들 수 있는 모든 벡터들의 집합 = $span(\vec{v_1}, \vec{v_2})$
  • $span$ 으로 만들어진 집합에는 영벡터도 포함된다.
  • $c_1\vec{v_1}+ c_2\vec{v_2} = 0\begin{bmatrix} 1 \\0 \\\end{bmatrix} + 0\begin{bmatrix} 0 \\1 \\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\0 \\\end{bmatrix} \;\dots\; (\,c_1=c_2=0\,)$

3. 선형 종속(Dependence) / 선형 독립(Independence)

• 선형 종속 : 주어진 벡터 중 하나 이상의 벡터가 다른 벡터의 선형 조합으로 표현될 수 있는 경우
• 선형 독립 : 주어진 벡터 중 어떤 벡터도 다른 벡터의 선형 조합으로 표현될 수 없는 경우

• 종속 / 독립 판단 방법
  • 벡터 집합 $S$ 가 선형 독립이라면, $c_1,\cdots,c_n$의 값이 모두 0일때만 우측 조건을 만족한다.
    $S = \{\vec{v_1}, \vec{v_2}, \cdots, \vec{v_n}\}\iff c_1\vec{v_1}, c_2\vec{v_2}, \cdots, c_n\vec{v_n} = \bm{0}$
    $\,$
  • 예시 (주어진 벡터들이 선형 종속인지, 독립인지 판단)
    $\vec{v_1} = \begin{bmatrix} 2 \\1 \\\end{bmatrix} \,, \, \vec{v_2} = \begin{bmatrix} 3 \\2 \\\end{bmatrix} \iff c_1\begin{bmatrix} 2 \\1 \\\end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix} 3 \\2 \\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\0 \\\end{bmatrix}$
    $\;$
    $2c_1 + 3c_2 = 0$
    $\;\;c_1 + 2c_2 = 0$
    $\quad\quad\;\;\frac{1}{2}c_2 = 0 \;\cdots\; R_2 - \frac{1}{2}R_1$
    $then\quad\, c_1 =c_2 = 0$
    위 문제에서 $c_1, c_2$ 모두 0인 경우에만 $\bm{0}$를 만들 수 있기 때문에 주어진 벡터는 선형 독립이다.

4. 부분공간 (Subspace)

: 벡터 공간 $\bm{V}$의 부분집합 $\bm{W}$가 특정 조건을 만족할 때, 부분집합 $\bm{W}$를 $\bm{V}$의 부분 공간이라고 한다.

• 부분공간의 조건
  • 영벡터를 포함 : $\bm{W}$는 $\bm{V}$의 영벡터 $\bm{0}$를 포함한다. $(\bm{0} \in \bm{W})$
  • 덧셈에 닫혀있음 : $\bm{W}$의 벡터들을 더한 결과도 $\bm{W}$에 포함된다.
    $\quad\quad\quad\quad\quad\quad(\vec{u},\vec{v} \in \bm{W},\quad \vec{u}+\vec{v} \in \bm{W})$
  • 스칼라배에 닫혀있음 : $\bm{W}$의 벡터를 스칼라배 한 결과도 $\bm{W}$에 포함된다.
    $\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;\,(\vec{u} \in \bm{W},\quad c\vec{u} \in \bm{W})$

5. 기저 (Basis)

: 어떤 부분공간을 만들때 필요한 최소한의 벡터 집합. (= 주어진 벡터가 모두 선형독립이어야 함)

• 예시
  • $\bm{S} = \{\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}\}\;,\; \bm{V} = span(\bm{S})$ 인 경우
    $\bm{S}$ 가 선형독립이라면, $\bm{S}$는 $\bm{V}$의 기저이다.
    $\;$
  • $\bm{S} = \{\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}, \vec{v_1}+\vec{v_2}\}\;,\; \bm{V} = span(\bm{S})$ 인 경우
    $\bm{S}$ 는 선형독립이 아니기 때문에, $\bm{S}$는 $\bm{V}$의 기저가 아니다.