1. Log 함수

Log 함수란?

로그 함수란, 거듭제곱의 관계를 곱셈 또는 나눗셈 관계로 변환하는 함수이다. ( $log_{3}\,9 = 2$ → 3의 2제곱은 9이다.)

로그 함수는 주로 자연 로그와 상용 로그가 사용된다.
1. 자연 로그 ($log_e = ln$): 밑이 오일러 수 $e$인 로그 함수이며 지수 함수의 역함수이다.
2. 상용 로그 ($log_{10}$): 밑이 10인 로그 함수이다.

Log 함수의 주요 성질

1. $log_{a}\,xy \;=\; log_a\,x + log_b\,c$
2. $log_{a}\,x^n \;=\; n\,log_a\,x$
3. $log_{a^m}\,x \;=\; \frac{1}{m}\,log_a\,x$
4. $log_{a}\,b \;=\; \frac{1}{log_b\,a}$
5. $log_{a}\,b \;=\; \frac{log_c\,b}{log_c\,a}$
   • $log_a\,b \;=\; z$
     $log_{c^x}\;b \;=\; z \quad \cdots \quad c^x = a \;\rightarrow\; log_c\,a\;=\;x$
     $\frac{1}{x}\,log_c\,b \;=\; z$
     $\frac{y}{x} \quad\quad\;\,\;=\; z \quad \cdots \quad log_c\,b = y$
     $\frac{log_c\,b}{log_c\,a} \quad\; \;=\; z$
6. $a^{log_{a}x}\, \;=\; x$
7. $a^{log_{b}c}\,xy \;=\; c^{log_ba}$

2. 극한과 미분

극한이란?

함수에서 입력값이 어떤 지점으로 한없이 가까워질 때의 출력값을 의미한다.
수학적으로 이를 정의하기 위해 $\epsilon-\delta$ 논법 이라는 것이 있지만 여기선 따로 정리하진 않겠다.

극한은 미분의 순간에 대해 정의하기 위해 사용된다.

미분이란?

함수에서 순간 변화율 (그래프에서의 순간 기울기)를 의미한다.
$\frac{dy}{dx}$ 기호를 사용하여 표현한다.

미분의 주요 성질

1. $\frac{dy}{dx}\; x^n \;=\; nx^{n-1}$
2. $\frac{dy}{dx}\; e^x \;=\; e^x$
3. $\frac{dy}{dx}\; ln(x) \;=\; \frac{1}{x}$
4. $\frac{dy}{dx}\; log_2\,x \;=\; \frac{1}{log_2} \cdot \frac{1}{x}$

미분의 연쇄 법칙

미분을 여러개의 분수꼴로 나타내어 계산하는 방식이다.
단, 실제 분수는 아니기 때문에 각 분모 분자들을 곱할 수는 없고, 각 분수의 결과값들을 곱해야한다.

아래의 예시와 같이, 미분을 여러개의 분수꼴로 나타내고 계산할 수 있다.

3. 편미분과 기울기(그라디언트)

편미분이란?

여러개의 변수로 이루어진 식을 특정 변수로만 미분하는 것을 말한다.
이때 기호는 $d$ 가 아닌 $\partial$ 을 사용한다. ($\frac{\partial f}{\partial x}$)

편미분을 통한 기울기(그라디언트) 계산

각 변수에 대해 편미분한 값을 벡터화하여, 어떠한 지점에서의 기울기(그라디언트)를 구할 수 있다.

아래 예시는 x,y 변수로 이루어진 식을 편미분하여
x=1, y=1 지점에서의 기울기(그라디언트)를 구하는 방법이다.