[선형대수학] 역함수와 역변환

1. 항등함수와 역함수

1. 항등함수 (Identify function)
   집합 내의 모든 원소를 원소 자체에 매핑하는 함수를 말한다.
   $\textbf{I}_x: \textbf{X} \longmapsto \textbf{X} \quad\dots\quad \textbf{I}_x(a) = a$
2. 역함수 (Inverse function)
   기존 함수의 변환값을 반대로 매핑하는 함수를 말한다.
   $\textbf{T}: \textbf{X} \longmapsto \textbf{Y} \quad,\quad \textbf{T}^{-1}: \textbf{Y} \longmapsto \textbf{X} \\ \textbf{T} \circ \textbf{T}^{-1} \,=\, \textbf{I}_x \quad,\quad \textbf{T}^{-1} \circ \textbf{T} \,=\, \textbf{I}_y$
3. 가역성이란?
   • 함수 $\textbf{T}$의 역함수 $\textbf{T}^{-1}$가 존재할 때, 가역성을 지닌다고 말한다.
     즉, 역함수를 가질 수 있음을 말한다.

2. 전사함수와 단사함수

1. 전사함수 (Surjective function)
   • 집합 $\textbf{Y}$(공역)의 모든 원소가 집합 $\textbf{X}$(정의역)에 모두 대응되는 함수
   • 전사함수의 조건
     $\textbf{T} = \textbf{A}_{m\times n}\,\vec{x}$ 일 때, $Rank(\textbf{A}) = m$ 이어야 한다.
2. 단사함수 (Injective function)
   • 집합 $\textbf{X}$(정의역) 각각의 원소가 집합 $\textbf{Y}$(공역)의 원소 각각 하나에 대응되는 함수
   • 단사함수의 조건
     $\textbf{T} = \textbf{A}_{m\times n}\,\vec{x}$ 일 때, $Rank(\textbf{A}) = n$ 이어야 한다.

3. 가역성과 역함수

1. 가역성의 조건
   • 가역성을 지니려면, 전사함수이면서 단사함수이어야 한다.
     위 내용에 따라서, 가역성을 지니려면 아래 조건을 모두 만족해야한다.
     $\textbf{T}:\mathbb{R}^n \longmapsto \mathbb{R}^m= \textbf{A}_{m\times n}\;\vec{x}\\\,\\ \textbf{T}\;\;is\;\;Surjective\;Func \iff Rank(\textbf{A}) = m \\ \textbf{T}\;\;is\;\;Injective\;Func \iff Rank(\textbf{A}) = n \\\,\\ T\;\;has\;\;Inverse Func \iff Rank(\textbf{A})=m=n$
   • $Rank(\textbf{A})=m=n$ 이면, $\,\,rref(\textbf{A})=\textbf{I}_n$(단위행렬) 이다.