[선형대수학] 역행렬과 행렬식

1. 기약행사다리꼴과 역행렬

행렬 $\textbf{A}_{m\times n}$이 역행렬을 가지려면, $Rank(\textbf{A}) =n=m$ 이어야 한다.
이는 $rref(\textbf{A})=I_n$ 임을 뜻한다.

1. 기약행 사다리꼴의 선형 변환
행렬 $\textbf{A}$의 기약행 사다리꼴을 구하는 것을 선형 변환으로 나타낼 수 있고,
선형 변환으로 나타낼 수 있기 때문에 이는 행렬곱으로 표현할 수 있다.

• 기약행 사다리꼴 변환 과정
  $\textbf{A}= \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 4 \end{bmatrix}\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & -1 & a_1 \\ 0 & 1 & 2 & a_2+a_1 \\ 0 & 2 & 5 & a_3-a_1 \end {array} \right]\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & a_1+a_2 \\ 0 & 1 & 2 & a_2 \\ 0 & 0 & 1 & a_3-2a_2 \end {array} \right]\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & a_1-a_3 \\ 0 & 1 & 0 & a_2-2a_3\\ 0 & 0 & 1 & a_3 \end {array} \right]$
• 기약행 사다리꼴 변환 과정의 선형 변환 형태
  $\textbf{T}_1(\vec{a}): \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} \longmapsto \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2+a_1 \\ a_3-a_1 \end{bmatrix} \;,\; \textbf{T}_2(\vec{a}): \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} \longmapsto \begin{bmatrix} a_1+a_2 \\ a_2 \\ a_3-2a_2 \end{bmatrix} \;,\; \textbf{T}_3(\vec{a}): \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} \longmapsto \begin{bmatrix} a_1-a_3 \\ a_2-2a_3 \\ a_3 \end{bmatrix}\\\,\\ T_1(\vec{a}) = \textbf{S}_1\vec{a} \quad,\quad T_2(\vec{a}) = \textbf{S}_2\vec{a} \quad,\quad T_3(\vec{a}) = \textbf{S}_3\vec{a}$
• 기약행 사다리꼴 변환을 통한 역행렬 구하기
  $T_3(T_2(T_1(\textbf{A}))) \;=\; \textbf{S}_3\textbf{S}_2\textbf{S}_1\textbf{A} \;=\; rref(\textbf{A}) \;=\; \textbf{I}_n \\\,\\ \textbf{S}_3\textbf{S}_2\textbf{S}_1\textbf{A} \;=\; \textbf{I}_n \;=\; \textbf{A}^{-1}\textbf{A} \quad \dots \quad \textbf{S}_3\textbf{S}_2\textbf{S}_1 \;=\; \textbf{A}^{-1}$
  즉, $[\textbf{A} \;|\;\textbf{I}_n] \; = \; [\textbf{I}_n \;|\; \textbf{A}^{-1}]$ 이다.

2. 역행렬 구하기
   • 2 x 2 행렬의 역행렬
     • 행렬식 : $Det(\textbf{A}) = |\,\textbf{A}\,| = \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad-bc$
     • 역행렬
       $\textbf{A}^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d & -c \\ -b & a\end{bmatrix} = \frac{1}{Det(\textbf{A})}\begin{bmatrix}d & -c \\ -b & a\end{bmatrix}$
     • 가역성 판단
       $Det(\textbf{A})=ad-bc$ 가 0이라면 가역성을 가지지 않고, 0이 아니라면 가역성을 가진다.
   • 3 x 3 행렬의 역행렬 (생략)
   • n x n 행렬의 역행렬 (생략)
   • 다른 행/열을 이용한 역행렬 구하기 (생략)
3. 사루스의 법칙
   3 x 3 행렬에서의 행렬식을 구하는 방법이다.
   우측 방향 대각선 행은 더하고, 좌측 방향 대각선 행을 빼는 방식이다.
   $\textbf{A} = \begin{bmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} \quad \dots \quad Det(\textbf{A}) = aei\,+\, bfg\,+\, cdh \,-\, afh \,-\, bdi \,-\, ceg \\\,\\$

2. 행렬식 응용

1. 스칼라곱의 행렬식
   2차원 행렬 뿐만 아니라 3차원, n차원 행렬에서도 아래 특징을 지닌다.$\,\\\,$
   • 특정 행에 대한 스칼라 곱
     행렬 $\textbf{A}$의 특정 행에 스칼라 $k$를 곱한 행렬 $\textbf{A}^\prime$ 에 대해서 $Det(\textbf{A}^\prime) = k\,Det(\textbf{A})$ 이다.
     $\textbf{A} = \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} \quad , \quad Det(\textbf{A})=ad-bc \\\,\\ \textbf{A}^\prime = \begin{bmatrix}a&b\\kc&kd\end{bmatrix} \quad , \quad Det(\textbf{A}^\prime)=kad-kbc = k(ad-bc) =k\,Det(\textbf{A}) \\\,\\$
   • 행렬에 대한 스칼라 곱
     행렬 $\textbf{A}$ 에 스칼라 $k$를 곱한 행렬 $k\textbf{A}$ 에 대해서 $Det(k\textbf{A}) = k^2\,Det(\textbf{A})$ 이다.
     $k\textbf{A} = \begin{bmatrix}ka&kb\\kc&kd\end{bmatrix} \quad , \quad Det(k\textbf{A})=k^2ad-k^2bc = k^2(ad-bc) =k^2\,Det(\textbf{A}) \\\,\\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;\; Det(k\textbf{B}_{n\times n}) = k^n\,Det(\textbf{B}_{n\times n})\\\,\\$
2. 행 덧셈의 행렬식
   2차원 행렬 뿐만 아니라 3차원, n차원 행렬에서도 아래 특징을 지닌다.
   다른 행렬 $\textbf{X}, \textbf{Y}$의 특정 행을 더해 새로운 행렬 $\textbf{Z}$를 만들었을 때, $Det(\textbf{Z}) = Det(\textbf{X})+Det(\textbf{Y})$ 이다.$\,\\\,$
   $\textbf{X}=\begin{bmatrix}a&b\\x_1&x_2\end{bmatrix}\;,\; \textbf{Y}=\begin{bmatrix}a&b\\y_1&y_2\end{bmatrix}\;,\; \textbf{Z}=\begin{bmatrix}a&b\\x_1+y_1&x_2+y_2\end{bmatrix} \\\,\\ Det(\textbf{X})= ax_2-bx_1 \;,\; Det(\textbf{Y})= ay_2-by_1 \\ Det(\textbf{Z})=a(x_2+y_2) - b(x_1+y_1) = ax_2-bx_1+ay_2-by_1 = Det(\textbf{X}) + Det(\textbf{Y}) \\\,\\$
3. 교환행렬의 행렬식
   행렬에서 특정 행들의 위치만 바꾼 행렬을 교환행렬이라고 하고, 행렬식에서 아래와 같은 특징을 지닌다.
   • 행렬 $\textbf{A}$에서 특정 행 $\vec{r}_i,\vec{r}_j$ 위치를 바꾼 행렬 $\textbf{S}_{ij}$에 대해서 $Det(\textbf{S}_{ij})=-Det(\textbf{A})$ 이다.
     $\\\,\\ \textbf{A}=\begin{bmatrix}\vec{r}_1 \\ \dots \\ \vec{r}_i \\ \vec{r}_j \\ \dots \\ \vec{r}_n \end{bmatrix} \quad , \quad \textbf{S}_{ij}=\begin{bmatrix}\vec{r}_1 \\ \dots \\ \vec{r}_j \\ \vec{r}_i \\ \dots \\ \vec{r}_n \end{bmatrix} \quad\quad \dots \quad Det(\textbf{S}_{ij})=-Det(\textbf{A}) \\\,$
   • 행렬 $\textbf{A}$의 행 $r_i = r_j$ 일 때, 행렬 $\textbf{A}$ 는 가역성을 지니지 않는다.
     $\textbf{If}\quad r_i = r_j\; \quad\quad\quad \dots \quad Det(\textbf{S}_{ij})=Det(\textbf{A})=-Det(\textbf{A})=0 \\ \textbf{If}\quad Det(\textbf{A})=0 \quad \dots \quad rref(\textbf{A}) \neq \textbf{I}_n \\\,$
4. 행연산의 행렬식
   행렬 $\textbf{A}$에서 행 간 연산을 한 행렬을 $\textbf{B}$ 라고 하면, $Det(\textbf{A}) = Det(\textbf{B})\\\,$
   $\textbf{A}=\begin{bmatrix}\vec{r}_1 \\ \dots \\ \vec{r}_i \\ \vec{r}_j \\ \dots\end{bmatrix} \quad,\quad \textbf{B}=\begin{bmatrix}\vec{r}_1 \\ \dots \\ \vec{r}_i \\ \vec{r}_j-c\,\vec{r}_i \\ \dots\end{bmatrix} \\\,\\ Det(\textbf{B}) = Det(\begin{bmatrix}\vec{r}_1\\ \dots\\ \vec{r}_i\\ \vec{r}_j-c\,\vec{r}_i\\ \dots\end{bmatrix}) = Det(\textbf{A})+Det(\begin{bmatrix}\vec{r}_1\\ \dots \\ \vec{r}_i \\ -c\,\vec{r}_i \\ \dots\end{bmatrix}) \\\,\\ Det(\begin{bmatrix}\vec{r}_1\\ \dots \\ \vec{r}_i \\ -c\,\vec{r}_i \\ \dots\end{bmatrix}) = -c \times Det(\begin{bmatrix}\vec{r}_1 \\ \dots \\ \vec{r}_i \\ \vec{r}_i \\ \dots\end{bmatrix})= -c \times 0 =0 \quad \dots \quad (\vec{r}_i=\vec{r}_i)\\\,\\ Det(\textbf{B}) = Det(\textbf{A}) + 0 = Det(\textbf{A})\\\,$
5. 상삼각/하삼각행렬의 행렬식
   행렬 $\textbf{A}$에서 $a_{11},a_{22},\,\dots\,,a_{nn}$을 주대각성분이라고 하며,
   주대각성분의 아래가 모두 0인 경우를 상삼각행렬 $\textbf{U}$, 주대각성분의 위가 모두 0인 경우를 하삼각행렬 $\textbf{L}$이라고 한다.
   상/하삼각행렬의 행렬식 $Det(\textbf{L}) = Det(\textbf{U}) = a_{11}\times a_{22}\times\dots\times a_{nn}$ 이다.
   $\\\,\\ \textbf{U}=\begin{bmatrix}a&b&c\\0&d&e\\0&0&f\end{bmatrix} \quad,\quad Det(\textbf{U}) = a\begin{vmatrix}d&e\\0&f\end{vmatrix} -0\begin{vmatrix}b&c\\0&f\end{vmatrix} +0\begin{vmatrix}b&c\\d&e\end{vmatrix} =adf\\\,$
6. 행렬식과 평행사변형의 관계
   행렬 $\textbf{A}_{2\times2}$의 열벡터 $\vec{c}_1,\vec{c}_2$으로 이루어진 평행사변형의 넓이 $\textbf{R}=|\,Det(\textbf{A})\,|$ 이다.
   $\,\\$
7. 행렬식과 선형변환의 관계
   선형변환 $\textbf{T}=\textbf{A}\vec{x}$ 이고 선형변환 전(정의역)의 넓이가 $\textbf{R}$이라고 했을 때, 선형변환 후(치역)의 넓이 $\textbf{R}_{T} = |\,\textbf{R}\;Det(\textbf{A})\,|$ 이다.