[선형대수학] 전치행렬

1.전치 행렬

주어진 행렬의 행과 열을 반전시킨 행렬을 말한다.

2. 전치 행렬의 연산

1. 전치 행렬의 행렬식
   모든 행렬에서, 주어진 행렬의 행렬식과 전치 행렬의 행렬식은 같다.
   $Det(\textbf{A}_{2\times 2})\,=\,Det(\textbf{A}^T_{2\times 2}) \quad,\quad Det(\textbf{A}_{n\times n})\,=\,Det(\textbf{A}^T_{n\times n})$
2. 전치 행렬의 합
   행렬의 합에 전치를 한 경우, 행렬의 순서는 유지된다.
   $\textbf{C}=\textbf{A}+\textbf{B}\quad\dots\quad \textbf{C}^T=(\textbf{A}+\textbf{B})^T=\textbf{A}^T+\textbf{B}^T$
3. 전치 행렬의 행렬곱
   행렬곱에 전치를 한 경우, 행렬의 순서가 바뀐다.
   $\textbf{C}=\textbf{A}\textbf{B}\quad\quad\dots\quad \textbf{C}^T=(\textbf{A}\textbf{B})^T=\textbf{B}^T\textbf{A}^T \\ \textbf{W}=\textbf{X}\textbf{Y}\textbf{Z}\quad\dots\quad \textbf{W}^T=(\textbf{X}\textbf{Y}\textbf{Z})^T=\textbf{Z}^T\textbf{Y}^T\textbf{X}^T$
4. 전치 행렬의 역행렬
   전치 행렬의 역행렬과 역행렬의 전치 행렬은 같다.
   $(\textbf{A}^T)^{-1}=(\textbf{A}^{-1})^{T} \\\,$
   이는 행렬과 역행렬을 곱하면 단위 행렬이 나옴을 통해 증명할 수 있다.
   $\textbf{A}\textbf{A}^{-1}=\textbf{A}^{-1}\textbf{A}=\textbf{I}_n\\ (\textbf{A}\textbf{A}^{-1})^T=(\textbf{A}^{-1}\textbf{A})^T=(\textbf{I}_n)^T=\textbf{I}_n$

3. 전치 벡터

1. 벡터 간 내적과 전치 벡터
   벡터 간 내적은 전치 벡터와 벡터의 곱으로 표현할 수 있다.
   $\vec{v}\cdot\vec{w}=\vec{v}^T\vec{w}$
2. 행렬 벡터 간 곱셈과 전치 벡터
   행렬과 벡터의 곱셈은 전치를 통해 아래와 같이 표현할 수 있다.
   $\textbf{A}\vec{x}\cdot\vec{y}=\vec{x}\cdot(\textbf{A}^T\vec{y})\\\,$
   이는 1번 벡터 간 내적을 전치 벡터 간 곱으로 표현하는 방법을 통해 아래와 같이 증명할 수 있다.
   $\textbf{A}\vec{x}\cdot\vec{y}=(\textbf{A}\vec{x})^T\vec{y}=(\vec{x}^T\textbf{A}^T)\vec{y}\\ \quad\quad\quad =\vec{x}^T(\textbf{A}^T\vec{y})=\vec{x}\cdot(\textbf{A}^T\vec{y})$

4. 행공간과 좌영공간

행렬 $\textbf{A}$와 전치 행렬 $\textbf{A}^T$ 가 있을 때, 각각의 열공간과 영공간을 구할 수 있고 이를 통해 행공간과 좌영공간을 정의할 수 있다.

1. 행공간
   전치 행렬 $\textbf{A}^T$의 열공간 $C(\textbf{A}^T)$를 행렬 $\textbf{A}$의 행공간이라고 정의한다.
   $Row\;Space\;of\;\textbf{A}=C(\textbf{A}^T) \\\,$
   또한 전치 행렬의 계수는 행렬의 계수와 같다.
   $Rank(\textbf{A})= Rank(\textbf{A}^T) \\\,$
2. 좌영공간
   전치 행렬 $\textbf{A}^T$의 영공간 $N(\textbf{A}^T)$를 행렬 $\textbf{A}$의 좌영공간이라고 정의한다.
   $N(\textbf{A}) \quad\dots\quad \{\vec{x} \;|\; \textbf{A}\vec{x}=\vec{0}\} \quad,\quad N(\textbf{A}^T) \quad\dots\quad \{\vec{x} \;|\; \textbf{A}^T\vec{x}=\vec{0}\} \\\,$
   행렬과 전치 행렬의 정의가 위와 같을 때, 좌영공간에 대해서 아래와 같이 정의할 수 있다.
   $(\textbf{A}^T\vec{x})^T \;=\; \vec{0}^T \;=\; \vec{x}^T\textbf{A} \;=\; \vec{0} \\ N(\textbf{A}^T) \;\rightarrow\; \{\vec{x} \;|\; \textbf{A}^T\vec{x}=\vec{0}\} \;\rightarrow\; \{\vec{x} \;|\; \vec{x}^T\textbf{A}=\vec{0}\} \\\,$
3. 행공간과 좌영공간의 성질
   • 행공간과 좌영공간의 차원
     행렬 $\textbf{A}_{m \times n}$ 에 대해서 $C(\textbf{A}) \in \mathbb{R^m} \;,\; N(\textbf{A}) \in \mathbb{R^n}$ 이고
     전치 행렬 $\textbf{A}^T_{n \times m}$ 에 대해서 $C(\textbf{A}^T) \in \mathbb{R^n} \;,\; N(\textbf{A}^T) \in \mathbb{R^m}$ 이다.
   • 행공간과 좌영공간의 관계
     행공간과 좌영공간에 대해서는 아래 관계가 성립한다.
     $C(\textbf{A}) \perp N(\textbf{A}^T) \quad , \quad C(\textbf{A}^T) \perp N(\textbf{A})$

5. 전치 행렬의 가역성

행렬 $\textbf{A}_{n \times k}$ 의 원소들이 선형 독립이라고 가정했을 때, 행렬 $\textbf{A}^T\textbf{A}$ 는 가역성을 지니고, 즉 역행렬을 가진다.