[선형대수학] 영공간과 열공간

행렬의 영공간과 열공간의 정의와 특징들에 대해 설명해보고자 한다.

1. 영공간 (Null Space)

• 영공간의 정의
  1. 영공간(Null Space) : $\textbf{A}\vec{x} = \vec{0}$ 을 만족하는 $\vec{x}$의 모든 집합
     행렬 $\textbf{A}_{m \times n}$ 의 영공간 $= N(\textbf{A}) = \begin{Bmatrix}\vec{x}\in\mathbb{R}^n \; | \; \textbf{A}\vec{x} = \vec{0} \end{Bmatrix}$
  2. 영공간은 $\mathbb{R}^n$ 의 부분공간이다. (부분 공간의 특징을 지닌다.)

• 영공간의 계산
  행렬 $\textbf{A}$ 가 주어졌을 때 영공간의 계산
  $\textbf{A}_{3 \times 4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix} \quad , \quad \textbf{A}\vec{x} = \vec{0} \;\cdots\;\vec{x}\;?$
  ① $\textbf{A}\vec{x} = \vec{0}$ 꼴의 수식을 연립방정식으로 변환
  $\begin{matrix} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 0 \\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 4x_4 = 0 \\ 4x_1 + 3x_2 + 2x_3 + x_4 = 0 \end{matrix}$
  ② 첨가행렬으로 변환
  $\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 3 & 4 & 0\\ 4 & 3 & 2 & 1 & 0\\ \end{array} \right]$
  ③ RREF(기약 행사다리꼴) 형태로 변환
       : 아래 수식에서 $x_1,x_2$(1번째, 2번째 열)이 피벗 변수 임을 알 수 있다.
  $\left[ \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -1 & -2 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right]$
  ④ 다시 연립방정식의 형태로 변환
       : 피벗 변수 $x_1, x_2$ 는 자유 변수 $x_3,x_4$ 의 결합으로 구할 수 있음을 확인하였다.
  $\begin{matrix} x_1 & & - &x_3 & - &2x_4 & = & 0 \\ & x_2 & + &2x_3 & + &3x_4 & = & 0 \end{matrix} \quad\Longrightarrow\quad \begin{matrix} x_1 & = & x_3 & + & 2x_4 \\ x_2 & = & -2x_3 & - & 3x_4 \end{matrix}$
  ⑤ 위 수식을 벡터의 선형결합 형태로 변환
       : 영공간의 정의에서 $\vec{x}\in\mathbb{R}^n$ 이므로, $x_1,x_2,x_3,x_4$ 는 모든 실수가 가능하다.
       : 즉 $x_3,x_4$에 모든 실수가 가능하니, $\vec{x}$는 2개 벡터의 선형 결합으로 생성 가능한 집합과 같다.
  $\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} \quad = \quad x_3 \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \;+\; x_4 \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$
  ⑥ $\textbf{A}\vec{x} = \vec{0}$ 의 해집합 확인
  $N(\textbf{A}) = span \begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \end{pmatrix}$

2. 열공간 (Column Space)

• 열공간의 정의
  1. 열공간(Column Space) : 행렬 $\textbf{A}$ 의 열벡터의 선형 결합으로 생성 가능한 모든 집합
     행렬 $\textbf{A}_{m \times n}$ 의 열공간 $= C(\textbf{A}) = span(\vec{c_1}, \vec{c_2}, \cdots , \vec{c_n}) \\\iff \textbf{A} = \begin{bmatrix}\vec{c_1} &\vec{c_2} & \cdots & \vec{c_n}\end{bmatrix}$
  2. 열공간은 $\mathbb{R}^m$ 의 부분공간이다. (부분 공간의 특징을 지닌다.)
     $\,$
• 열공간의 계산
  : 정의 그대로 열벡터의 선형 결합으로 생성 가능한 모든 집합이기 때문에
     아래 수식과 같지만 이는 열공간의 기저가 아닐 수 있다.
  $C(\textbf{A}) = span \begin{pmatrix} \vec{c_1}, \;\vec{c_2}, \;\cdots, \;\vec{c_n} \end{pmatrix}$

3. 영공간과 열공간의 기저 (Basis)

: 기저(basis)란, 어떠한 부분공간을 만들 때 필요한 최소한의 벡터 집합을 말한다.
  아래는 영공간, 열공간의 기저를 구하는 방법이다.

• 영공간의 기저
  : 위에서 영공간을 계산할때, 선형 결합으로 표현할 수 있는 변수들은 제거하기 때문에
    도출 된 벡터 집합은 이미 선형 독립이며, 기저라고 말할 수 있다.
  $\,$
• 열공간의 기저
  : 위에서 열공간을 계산할때, 별도로 선형 독립을 확인하는 과정이 없기 때문에
    도출 된 벡터 집합이 기저라고 말할 수 없고, 아래의 방법을 통해 열공간의 기저를 구할 수 있다.
  $\,$
  • 행렬 $\textbf{A}$ 가 주어졌을 때 열공간의 기저 계산
    $\textbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \vec{c_1},\;\vec{c_2},\;\vec{c_3},\;\vec{c_4} \end{bmatrix} \quad \cdots \quad Basis\; of\; C(\textbf{A})\;?$
    ① 주어진 열벡터들을 RREF(기약 행사다리꼴) 형태로 변환
         : 아래 수식에서 1번째, 2번째 열이 피벗 변수임을 알 수 있다.
         : 즉, 1번째, 2번째 열이 선형 독립이며 $\vec{c_1},\;\vec{c_2}$ 인 것을 알 수 있고,
            $\vec{c_1},\;\vec{c_2}$ 의 선형 결합으로 다른 벡터들을 만들 수 있음을 알 수 있다.
    $RREF(\textbf{A}) \;=\; \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$
    ② 열공간의 기저 확인
    $C(\textbf{A}) = span \begin{pmatrix} \vec{c_1},\; \vec{c_2} \end{pmatrix} = span \begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix} \end{pmatrix}$

4. 영공간과 열공간의 차원 (Dimension)

• 차원의 정의
  • 주어진 행렬의 기저(Basis) 벡터 집합에서 벡터의 개수를 의미한다.
    (기저 벡터가 3개인 경우 3차원, 이는 최대 3차원까지 표현 가능함을 의미한다.)
  • $dim$ 기호를 사용하며,  $dim(\textbf{A})$ 은 행렬 $\textbf{A}$의 차원을 의미한다.
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• 영공간의 차원
  • 특정 행렬의 영공간의 차원은 $dim(N(\textbf{B}))$ 또는 $nullity(\textbf{B})$ 로 표시할 수 있다.
  • 영공간의 차원은 기약 행사다리꼴(RREF)에서 자유 변수의 개수와 같다.
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• 열공간의 차원
  • 특정 행렬의 열공간의 차원은 $dim(C(\textbf{B}))$ 또는 $rank(\textbf{B})$ 로 표시할 수 있다.
  • 열공간의 차원은 기약 행사다리꼴(RREF)에서 피벗 변수의 개수와 같다.