[선형대수학] 함수와 선형 변환

1. 선형 변환이란?

1. 주요 용어의 정의
   - 정의역 (Domain) : 입력되는 값(선형 변환에서는 벡터)의 집합
   - 공역 (Co-Domain) :선형 변환을 통해 생성 가능한 모든 출력 벡터의 집합
   - 치역 (Range) : 정의역의 선형 변환을 통해 생성 가능한 실제 출력 벡터의 집합
   $\,$
2. 선형 변환 (Linear Transformation)의 필요 충분 조건
   • $\vec{a},\vec{b} \in \mathbb{R}^n$
   • $\textbf{T}(\vec{a}+\vec{b})=\textbf{T}(\vec{a})+\textbf{T}(\vec{b})$
   • $\textbf{T}(c\vec{a})=c\textbf{T}(\vec{a})$
     $\,$
3. 선형 변환의 예시
   $\textbf{T} : \mathbb{R}^2 \longmapsto \mathbb{R}^2 \\ \textbf{T}\,(x_1,\, x_2)\,=\, (x_1+x_2,\, 3x_1) \\ \, \\ \textbf{T}\begin{pmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix}\end{pmatrix} = \begin{bmatrix} x_1+x_2\\3x_1 \end{bmatrix} \\ \, \\ \textbf{T} :\begin{bmatrix} x_1\\x_2 \end{bmatrix} \longmapsto\begin{bmatrix} x_1+x_2\\3x_1 \end{bmatrix}$

2. 선형 변환과 행렬의 관계

1. 선형 변환과 행렬곱
   • 선형 변환은 행렬과 벡터의 곱셈으로 나타낼 수 있다.
     아래 수식은 선형 변환 $\textbf{T}(\vec{x})$ 와 행렬과 벡터의 곱 $\textbf{B}\,\vec{x}$ 가 같음을 보여준다.
     $\textbf{T} : \mathbb{R}^2 \longmapsto \mathbb{R}^2 \quad,\quad \textbf{B}=\begin{bmatrix}2&-1\\3&4\end{bmatrix} \quad,\quad \vec{x}=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix} \\\,\\ \textbf{B}\,\vec{x} = \begin{bmatrix}2&-1\\3&4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2x_1-x_2\\3x_1+4x_2\end{bmatrix} \\\,\\ \Longrightarrow \textbf{T}(x_1, x_2) \,=\, (2x_1-x_2, 3x_1+4x_2)\quad\quad\quad$
2. 선형 변환과 열공간
   • 모든 실수에 대한 선형 변환은 행렬의 열공간으로 나타낼 수 있다.
   • 모든 실수에 대한 선형 변환 $\textbf{T}(\mathbb{R}^n)$ 은 $\textbf{T}$ 상 에서의 $\mathbb{R}^n$의 이미지라고 하며, $Im(\textbf{T})$ 으로 나타낸다.
     아래 수식은 선형 변환 $\textbf{T}(\mathbb{R}^n)$ 과 행렬의 열공간 $C(\textbf{A})$ 가 같음을 보여준다.
     $\textbf{T}(\mathbb{R}^n) = Im(\textbf{T}) = \bigl\{ \textbf{A}\vec{x} \;\,\big| \;\, \vec{x} \in \mathbb{R}^n \bigl\} \\ \, \\ \textbf{A}\vec{x} = \begin{bmatrix}\vec{a}_1 & \vec{a}_2 & \vec{a}_3 & \cdots & \vec{a}_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \cdots \\ x_n \end{bmatrix} = x_1\vec{a}_1 + x_2\vec{a}_2 + \cdots + x_n\vec{a}_n = C(\textbf{A})$
3. 선형 변환의 커널(영공간)
   • 선형 변환 $\textbf{T}\,$의 결과가 모두 $\vec{0}$ 인 집합을 커널이라고 하고, $ker(T)$ 와 같이 표기한다.
   • 커널은 어떤 집합의 영공간 과 같다.
     $ker(\textbf{T}) = N(\textbf{A})=\bigl\{x \in \textbf{R} \;\, \big| \;\, \textbf{T}(\vec{x}) = \vec{0}\big\}$
4. 집합의 원상(preimage)
   : $\textbf{T}: \textbf{X} \longmapsto \textbf{Y}$ 일 때, 집합의 image, preimage 의 정의는 다음과 같다.
   • $\textbf{T}(\textbf{A})\,\;\;$ : $\textbf{T}$ 상 에서의 $\textbf{A}$의 이미지 / image of A under T  = $\bigl\{ \textbf{T}(\vec{x}) \in \textbf{Y} \;\,\big| \;\, \vec{x} \in \textbf{A} \bigl\}$
   • $\textbf{T}^{-1}(\textbf{S})$ : $\textbf{T}$ 상 에서의 $\textbf{S}$의 원상 / preimage of S under T = $\bigl\{ \vec{x} \in \textbf{X} \;\,\big| \;\, \textbf{T}(\vec{x}) \in \textbf{S} \;\bigl\}$

3. 선형 변환의 예

1. 선형 변환을 통한 스케일 변환 및 반전
   : 선형 변환 $\textbf{T}$를 통해 ①Y축을 기준으로 X축을 반전시키고 ②Y축 방향으로 2배 증가 시킨다고 한다면
   $\textbf{T}(\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix})=\begin{bmatrix}-x\\2y\end{bmatrix}$ 식과 같이 정리할 수 있고, 아래와 같이 단위벡터를 이용하여 행렬과 벡터의 곱셈으로 표현할 수 있다.
   $\textbf{T}(\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}) \;=\; \textbf{A}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} \;=\; \begin{bmatrix}-x\\2y\end{bmatrix} \quad \dots \quad I_2 = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \\ \, \\ \textbf{A}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} \;=\; \begin{bmatrix}\textbf{T}(e_1) & \textbf{T}(e_2) \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} \;=\; \begin{bmatrix}-x\\2y\end{bmatrix} \\ \, \\ \textbf{T}(\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}) \;=\; \begin{bmatrix}-1 & 0\\0 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} \;=\; \begin{bmatrix}-x\\2y\end{bmatrix}$
2. 선형 변환을 통한 회전
   • 2차원 회전
     : $Rot_\theta : \mathbb{R}^2 \longmapsto \mathbb{R}^2$ 이 주어진 벡터를 시계 반대 방향으로 $\theta^\circ$ 만큼 회전시키는 선형 변환이라고 한다면
     삼각 함수를 이용해 다음과 같은 행렬과 벡터의 곱셈으로 표현할 수 있다.
     $Rot_\theta(\vec{x}) \;=\; \textbf{A}\vec{x} \;=\; \begin{bmatrix}Rot_\theta(e_1) & Rot_\theta(e_2)\end{bmatrix}\vec{x} \\\,\\ Rot_\theta(e_1) = \begin{bmatrix} cos\theta \\ sin\theta \end{bmatrix} \quad,\quad Rot_\theta(e_2) = \begin{bmatrix} -sin\theta \\ cos\theta \end{bmatrix} \\\,\\ Rot_\theta(\vec{x}) \;=\; \begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \\\,\\ Rot_{45}(\vec{x}) \;=\; \begin{bmatrix} cos(45^\circ) & -sin(45^\circ) \\ sin(45^\circ) & cos(45^\circ) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \;=\; \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \\\,$
   • 3차원 회전
     : 3차원에서 x1 축을 중심으로 회전한다면, 다음과 같이 표현할 수 있다.
     $3Rot_\theta(\vec{x}) \;=\; \textbf{A}\vec{x} \;=\; \begin{bmatrix}3Rot_\theta(e_1) & 3Rot_\theta(e_2) & 3Rot_\theta(e_3)\end{bmatrix}\vec{x} \\\,\\ 3Rot_\theta(\vec{x}) \;=\; \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos\theta & -sin\theta \\ 0 & sin\theta & cos\theta \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{bmatrix}$

4. 선형 변환의 합성

2개의 선형 변환 $\textbf{S}: \textbf{X} \longmapsto \textbf{Y}\,,\, \textbf{T}: \textbf{Y} \longmapsto \textbf{Z}$을 1개의 선형 변환으로 표현하면, $\textbf{T} \circ\textbf{S}: \textbf{X} \longmapsto \textbf{Z}$ 로 나타낼 수 있고 이를 합성한다라고 말한다.
선형 변환은 행렬과 벡터의 곱 형태로 표현할 수 있고, 선형 변환의 합성 또한 행렵곱의 형태로 표현할 수 있다.

• 선형 변환의 합성(행렬곱)의 결합/교환 법칙
  • $((\textbf{H}\circ\textbf{G})\circ\textbf{F})(\vec{x}) \,=\, (\textbf{H}\circ(\textbf{G})circ\textbf{F}))(\vec{x})$
    $\textbf{(AB)C}\vec{x} \,=\, \textbf{A(BC)}\vec{x}$ 와 같이 결합 법칙이 성립한다.
  • $\textbf{A(B+C)} \,=\, \textbf{AB+AC} \;,\; \textbf{(B+C)A} \,=\, \textbf{BA+CA}$와 같이 교환 법칙이 성립한다.