[선형대수학] 행렬의 연산

행렬의 연산 중 덧셈 / 스칼라 배는 벡터에서의 연산 방법과 동일하지만,
행렬과 벡터의 곱셈은 다른 방식으로 계산된다.

본문에서는 행렬과 벡터의 곱셈하는 방법과, 열벡터 / 행벡터로 나누어 계산하는 방법에 대해서 설명하고자 한다.

1. 행렬의 곱셈

• $\textbf{A}_{m \times n} \,\times\, \vec{x}$ 를 계산할 때, $\vec{x}$ 는 $n \times k \;(k \in \mathbb{R})$ 형태이어야 한다.
• $\textbf{A}_{m \times n} \,\times\, \vec{x}_{n \times k}=\textbf{A}\vec{x}_{m \times k}$ 이다.
  $\,$

1.1. 열벡터를 이용한 행렬의 곱셉

: $\textbf{A} \,\times\, \vec{a}=\textbf{A}\vec{a}$ 일 때, $\textbf{A}\vec{a}$ 는 $\textbf{A}$의 열벡터들의 선형 결합이다.

• 풀이
  $\textbf{A} = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 0 & 3 \\ 2 & 4 & 7 & 0 \\ -1 & 2 & 3 & 4 \end{bmatrix} \quad,\quad \vec{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} \quad,\quad \textbf{A}\vec{x} = \begin{bmatrix} 3x_1 + 1x_2 + 0x_3 + 3x_4 \\ 2x_1 + \;\;\quad \cdots \;\;\quad+ 0x_4 \\ -1x_1 + \quad \cdots \;\quad+ 4x_4 \\ \end{bmatrix}$
  1) 기존의 행렬과 벡터의 곱셈은 위와 같이 표현할 수 있다.
  $\textbf{A} = \begin{bmatrix} \vec{c}_1 & \vec{c}_2 & \vec{c}_3 & \vec{c}_4 \end{bmatrix} \quad,\quad \vec{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} \quad,\quad \textbf{A}\vec{x} = x_1\vec{c}_1 + x_2\vec{c}_2 + x_3\vec{c}_3 + x_4\vec{c}_4$
  $\\ \textbf{A}\vec{x} = x_1\begin{bmatrix}3\\2\\-1\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}1\\4\\2\end{bmatrix} + x_3\begin{bmatrix}0\\7\\3\end{bmatrix} + x_4\begin{bmatrix}3\\0\\4\end{bmatrix}$
  2) 열벡터를 이용하면 위와 같이 선형 결합의 형태로 표현할 수 있다.

1.2. 행벡터를 이용한 행렬의 곱셉

: $\textbf{A} \,\times\, \vec{b}=\textbf{A}\vec{b}$ 일 때, $\textbf{A}\vec{b}$ 는 $\textbf{A}$의 행벡터들의 전치행렬과 $\vec{b}$ 와 내적한 값이다.

• 풀이
  $\textbf{A} = \begin{bmatrix} -3 & 1 & 3 & 2 \\ 1 & 7 & -1 & 9 \end{bmatrix} \quad,\quad \vec{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} \quad,\quad \textbf{A}\vec{x} = \begin{bmatrix} -3x_1 + 1x_2 + 3x_3 + 2x_4 \\ 1x_1 + \;\;\;\,\quad \cdots \;\;\;\quad+ 9x_4 \end{bmatrix}$
  1) 기존의 행렬과 벡터의 곱셈은 위와 같이 표현할 수 있다.
  $\textbf{A} = \begin{bmatrix} \vec{r}_1 \\ \vec{r}_2 \end{bmatrix} \quad,\quad \vec{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} \quad\cdots\quad \vec{r}_1 = \begin{bmatrix} -3 & 1 & 3 & 2 \end{bmatrix} \quad,\quad \vec{r}_1^T = \begin{bmatrix} -3 \\ 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}$
  $\\ \textbf{A}\vec{x} = \begin{bmatrix}\vec{r}_1\cdot\vec{x} \\ \vec{r}_2\cdot\vec{x} \end{bmatrix}$
  2) 행벡터를 이용하면 위와 같이 전치 행렬과의 내적의 형태로 표현할 수 있다.