[선형대수학] 직교여공간

1. 직교여공간

1. 직교여공간이란
   • 2개 벡터가 서로 수직할 때 이를 직교라고 말하고, $\perp$ 기호를 사용한다.
   • 직교인 2개 벡터들을 내적하면 값이 0이 나오는 특징을 가지고 있다.
   • 직교여공간은 부분공간이다.
     $\textbf{V}^{\perp} \;=\; \{\vec{x} \in \mathbb{R}^n \;\,|\,\; \vec{x}\cdot\vec{v}=0 \;,\;\vec{v} \in \textbf{V}\}$

2. 직교여공간의 특징

1. 직교여공간의 직교여공간
   • 행렬 $\textbf{A}$의 직교여공간의 직교여공간은 본래 행렬과 같다.
     $\textbf{A}\;=\; (\textbf{A}^\perp)^\perp$
2. 전치행렬과 직교여공간
   • 영공간과 행공간의 직교여공간
     $N(\textbf{A}) \;=\; C(\textbf{A}^T)^\perp \quad\quad,\quad\quad N(\textbf{A})^\perp \;=\; C(\textbf{A}^T)$
   • 좌영공간과 열공간의 직교여공간
     $N(\textbf{A}^T) \;=\; C(\textbf{A})^\perp \quad\quad,\quad\quad N(\textbf{A}^T)^\perp \;=\; C(\textbf{A})$
3. 직교여공간의 차원
   행렬 $\textbf{V}_{n\times k}$에 대해 아래와 같은 공식이 성립한다.
   $dim(\textbf{V}) + dim(\textbf{V}^\perp) = n\\\,$
   아래는 위 공식에 대한 증명이다.
   $basis \;of \;\textbf{V} = \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\;\dots\; \vec{v}_k\}\\ \textbf{A}_{n\times k} = \begin{bmatrix}\vec{v}_1 & \vec{v}_2 & \dots &\vec{v}_k\end{bmatrix} \\ \textbf{V}^\perp \;\;\;=\; C(\textbf{A})^\perp \;=\; N(\textbf{A}^T) \\\,\\ Rank(\textbf{A}^T) + nullity(\textbf{A}^T) = n\\ Rank(\textbf{A}) + nullity(\textbf{A}^T) = n \quad\quad\quad\dots\quad(Rank(\textbf{A})=Rank(\textbf{A}^T))\\ dim(C(\textbf{A})) + dim(N(\textbf{A}^T))=n \\ dim(\textbf{V}) + dim(\textbf{V}^\perp) \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\dots\quad(N(\textbf{A}^T)=\textbf{V}^\perp)$

3. Ax=b의 해와 직교여공간의 관계

$\textbf{A}\vec{x}=\vec{b}$ 의 가장 작은 해 $\vec{r}_0$ 는 유일하고 $\vec{r}_0 \in C(\textbf{A}^T)$ 이다.

아래는 위 공식에 대한 증명이다.
$\vec{x} = \vec{r}_0 + \vec{n}_0 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\dots\quad\quad \vec{r}_0 \in C(\textbf{A}^T) \;,\; \vec{n}_0 \in N(\textbf{A}) \\ \vec{r}_0 = \vec{x} - \vec{n}_0 \\\,\\ \textbf{A}\vec{r}_0 = \textbf{A}\vec{x} - \textbf{A}\vec{n}_0 = \vec{b} - \vec{0} = \vec{b}$
즉, $\vec{r}_0 = \vec{x}$ 이며 $\vec{r}_0 \in C(\textbf{A}^T)$ 이다.