[확률과 통계] 순열/조합

순열

• 정의 : 서로 다른 원소를 가진 집합에서 중복이 없고 순서와 상관 있게 선택하는 경우의 수
• 공식
  : $_nP_r =$ 서로 다른 n개의 원소에서 r개를 중복 없고 순서와 상관 있게 선택하는 경우의 수
  $_nP_r = {n! \over (n-r)!}$
• 예시
  • 문제 : A, B, C, D 네 명의 학생이 시험을 치르고, 1위부터 3위까지를 뽑는 경우
  • 풀이
    • 4명 중에서 3명을 뽑아서 순서대로 나열하는 것이므로 순열을 사용
    • $_4P_3 = {4! \over (4-3)!} = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$

중복 순열

• 정의 : 서로 다른 원소를 가진 집합에서 중복을 허용하고 순서와 상관 있게 선택하는 경우의 수
• 공식
  : $_n\Pi_r =$ 서로 다른 n개의 원소에서 r개를 중복을 허용하고 순서와 상관 있게 선택하는 경우의 수
  $_n\Pi_r = {n^r}$
• 예시
  • 문제 : 0 ~ 9까지의 숫자로 4자리 비밀번호를 만드는 경우
  • 풀이
    • 총 10개의 숫자로 4자리 비밀번호를 만들 때,
      같은 수를 여러번 사용할 수 있기 때문에 중복 순열을 사용
    • $_{10}\Pi_4 = {10^4} = 10,000$

조합

• 정의 : 서로 다른 원소를 가진 집합에서 중복이 없고 순서와 상관 없이 선택하는 경우의 수
• 공식
  : $_nC_r =$ 서로 다른 n개의 원소에서 r개를 중복 없고 순서와 상관 없이 선택하는 경우의 수
  $_nC_r = {n! \over (n-r)!\times r!}$
• 예시
  • 문제 : 1부터 10까지의 수 중에서 3개를 뽑는 경우
  • 풀이
    • 10개 중 3개를 뽑아 나열하는 것이 아니라 단순히 3개를 뽑는 경우이기 때문에 조합 사용
    • $_10C_3 = {10! \over (10-3)!\times 3!} = {10! \over 7!\times 3!} = {10 \times 9 \times 8 \over 3 \times 2 \times 1} = {720 \over 6} = 120$

중복 조합

• 정의 : 서로 다른 원소를 가진 집합에서 중복을 허용하고 순서와 상관 없이 선택하는 경우의 수
• 공식
  : $_nH_r =$ 서로 다른 n개의 원소에서 r개를 중복을 허용하고 순서와 상관 없이 선택하는 경우의 수
  $_nH_r = \, _{n+r-1}C_{n-1} = \, _{n+r-1}C_{r}$
• 예시
  • 문제 : 주사위를 3번 던져서 1부터 6까지의 수 중에서 중복을 허용해 숫자 3개를 선택하는 경우
  • 풀이
    • 주사위의 숫자 6개 중 3개를 중복을 허용하여 선택하기 때문에 중복 조합 사용
    • $_6H_3 = \, _{6+3-1}C_{6-1} = \, _{8}C_{5} = {8! \over 3!\times 5!} = {8 \times 7 \times 6 \over 3 \times 2 \times 1} = {336 \over 6} = {56}$