[ TIL / 통계 기초부터 다지기] 크기가 1인 표본평균의 평균과 분산

💡 크기가 1인 표본평균의 평균과 분산이 모집단과 동일한 이유

우리에게 키 180인 사람 2명, 170인 사람 3명, 160인 사람 2명으로 구성된 모집단이 존재한다고 가정하자. 모집단의 평균과 분산은 아래와 같을 것이다. 그리고 여기서 크기가 1인 표본을 복원추출 그리고 무한 추출로 무수히 많이 뽑아낸다고 가정하자.

이들에 대해 평균과 분산을 구하면 오른쪽의 수식들과 같다. 이때 N번 즉, 무한히 뽑기 때문에 큰수의 법칙으로 모집단과 동일해진다.

이를 일반화하는 과정은 아래와 같다.

$x_1$이 $N_1$개 $x_n$이 $N_n$개 있다고 가정할 때 각각의 변량이 추출될 확률은 오른쪽의 확률변수표와 같다.

이들에 대해서 동일하게 표본이 1개인 것을 무한히 추출했을 때의 표본들은 그 자신이 표본평균이므로 표본 평균에 대해 확률분포표를 만들어줄 수 있다. 결과적으로 추출하는 개수를 N번으로 매우 크게 가져갔을 때, 큰수의 법칙에 따라 여기서도 또다시 표본 평균의 평균은 모평균과 같아지고 표본평균의 분산은 모분산과 같아진다.

참고 : https://hsm-edu.tistory.com/19