D+49 탐욕법-섬 연결하기

문제

문제 설명
n개의 섬 사이에 다리를 건설하는 비용(costs)이 주어질 때, 최소의 비용으로 모든 섬이 서로 통행 가능하도록 만들 때 필요한 최소 비용을 return 하도록 solution을 완성하세요.

다리를 여러 번 건너더라도, 도달할 수만 있으면 통행 가능하다고 봅니다. 예를 들어 A 섬과 B 섬 사이에 다리가 있고, B 섬과 C 섬 사이에 다리가 있으면 A 섬과 C 섬은 서로 통행 가능합니다.

제한사항

섬의 개수 n은 1 이상 100 이하입니다.
costs의 길이는 ((n-1) * n) / 2이하입니다.
임의의 i에 대해, costs[i][0] 와 costs[i][1]에는 다리가 연결되는 두 섬의 번호가 들어있고, costs[i][2]에는 이 두 섬을 연결하는 다리를 건설할 때 드는 비용입니다.
같은 연결은 두 번 주어지지 않습니다. 또한 순서가 바뀌더라도 같은 연결로 봅니다. 즉 0과 1 사이를 연결하는 비용이 주어졌을 때, 1과 0의 비용이 주어지지 않습니다.
모든 섬 사이의 다리 건설 비용이 주어지지 않습니다. 이 경우, 두 섬 사이의 건설이 불가능한 것으로 봅니다.
연결할 수 없는 섬은 주어지지 않습니다.
입출력 예

n costs return
4 [[0,1,1],[0,2,2],[1,2,5],[1,3,1],[2,3,8]] 4

풀이

[섬1,섬2,섬1과 섬2를 연결할 때 드는 비용]
최소의 비용으로 모든 섬이 서로 통행 가능하도록 return 최소 비용 
최소 신장 트리(Minimum Spanning Tree, MST)를 구하는 대표적인 문제

1.문제 해결 접근 방법

• Kruskal 알고리즘 사용

모든 간선을 비용 기준으로 오름차순 정렬
Union-Find 자료구조를 사용하여 사이클 형성 방지
가장 낮은 비용의 간선부터 선택하여 MST 구성

• Union-Find 구현

각 섬의 부모를 저장하는 배열 필요
Find 연산: 특정 섬의 최상위 부모를 찾음
Union 연산: 두 섬을 하나의 집합으로 합침

2. 코드

function solution(n, costs) {
    // 비용을 기준으로 오름차순 정렬(가장 적은 비용의 다리부터 선택하기 위함
    costs.sort((a, b) => a[2] - b[2]);
    
    // 부모 배열 초기화 (처음에는 자기 자신이 부모)
    // Union-Find 연산을 위한 기본 설정
    const parent = Array.from({ length: n }, (_, i) => i);
    
    // Find 연산: 경로 압축을 통한 최적화
    // 특정 섬의 최상위 부모를 찾는 연산
    // 경로 압축기법 사용으로 성능 최적화
    // 재귀적으로 부모를 찾으며 경로 압축
    function find(x) {
        if (parent[x] === x) return x;
        return parent[x] = find(parent[x]); // 경로 압축
    }
    
    // Union 연산
    // 두 섬을 하나의 집합으로 합치는 연산
    // 사이클 형성 여부 확인
    // 이미 같은 집합에 속한 경우 false 반환
    function union(a, b) {
        const rootA = find(a);
        const rootB = find(b);
        
        if (rootA !== rootB) {
            parent[rootB] = rootA;
            return true;  // 연결 성공
        }
        return false;  // 이미 연결됨
    }
    
    let totalCost = 0;  // 총 건설 비용
    let bridges = 0;    // 연결된 다리 수
    
    // Kruskal 알고리즘 구현
    // 정렬된 순서대로 다리 건설 시도 
    // n-1개의 다리가 건설되면 종료 (MST:Minimum Spanning Tree) 완성
    for (const [island1, island2, cost] of costs) {
        // 사이클을 형성하지 않는 경우에만 다리를 건설
        if (union(island1, island2)) {
            totalCost += cost;
            bridges++;
            
            // 모든 섬이 연결되었는지 확인
            if (bridges === n - 1) break;
        }
    }
    
    return totalCost;
}

3. 시간 복잡도

• 정렬: O(ElogE) (E는 간선의 수)
• Union-Find연산 : O(a(N)) (a는 애커만 함수의 역함수로, 실질적으로 상수시간
• 전체 시간 복잡도 : O(ElogE)
  이 알고리즘은 주어진 섬들을 최소 비용으로 연결하는 최적의 해를 보장합니다. 모든 섬이 연결되었는지 확인하면서, 사이클 형성을 방지하여 최소신장 트리를 구성합니다.