[CV] Digital Image Fundamentals : Sampling & Quantization

디지털 이미지는 현실 세계의 연속적인 빛 정보를 이산화(Discretization)하는 과정에서 만들어진다. 이 과정에는 두 가지 중요한 단계가 있다. :

1. 샘플링(Sampling) - 공간 좌표를 일정 간격으로 나눠 픽셀로 표현
2. 양자화(Quantization) - 각 픽셀의 밝기 값을 제한된 단계로 근사

Sampling

샘플링(Sampling)은 연속적인 신호(아날로그)를 일정한 간격으로 이산적인 값으로 변환하는 과정이다.

영상에서는 공간좌표를 일정 간격으로 선택하여 픽셀 값으로 표현한다.

샘플링 주기가 작을수록 고해상도, 세부 표현이 가능하며, 샘플링 주기가 클수록 저해상도, 디테일이 손실될 가능성이 있다.

원본 신호를 Sin(x) 곡선으로 가정했을 때, 위 그림에서 파란 점들은 일정 간격으로 샘플링한 값들을 의미한다. 이 점들의 간격이 촘촘하면, 원본 신호의 모양을 잘 보존한다.

하지만, 샘플링 간격이 커지면(파란 점 간격이 커지면), 신호의 세부 변화를 놓치게 된다.

위 그림에서, 샘플링 포인트가 매우 적어 곡선의 모양이 크게 왜곡됨을 확인할 수 있다.(원본의 빠른 변화(고주파 성분)을 표현할 수 없다.)

Aliasing

에일리어싱(Ailiasing)이란 샘플링 주기가 너무 커서, 원본 신호의 고주파 성분이 낮은 주파수 성분으로 잘못 표현되는 현상이다.

즉, 정보 손실 + 왜곡이 함께 발생하게된다.

위 그림에서 Real Data(원본 고주파 신호), Sampled Data(샘플링 후 복원된 신호)를 확인해보면, 샘플링 간격이 크기 때문에, 원본과 전혀 다른 패턴(잘못된 주기)이 나타남을 확인할 수 있다. 이것이 바로 Aliasing 현상이다.

영상에서는 해상도가 낮을 때 발생하는 모자이크 현상과 유사하다.

나이퀴스트(Nyquist) 이론
나이퀴스트 샘플링 정리에 따르면

• $f_s$ : 샘플링 주파수
• $f_{max}$ : 원본 신호의 최대 주파수

즉, 샘플링 주파수가 원본 신호 최대 주파수의 2배 이상이어야 원본을 정확히 복원할 수 있다.

이를 만족하지 못하면, 에일리어싱(Aliasing)이 발생한다.

즉, 에일리어싱(Aliasing) 발생 시, 샘플링 주파수를 충분히 높여보거나, 샘플링 전 안티에일리어싱 필터(저역통과 필터)로 고주파 성분을 제거함으로 해결이 가능하다.

Quantization Level

양자화(Quantization)는 연속적인 값을 유한한 이산 값으로 변환하는 과정이다. 즉, 무한한 명암 단계를 모두 표현할 수 없기 때문에 몇 개의 단계로 나눠서 표현한다. 이때 단계 수를 Quantization Level(양자화 단계)라고 한다.

예를 들어,

• 8비트 → $2^8$ = 256단계
• 4비트 → $2^4$ = 16단계
• 1비트 → $2^1$ = 2단계(흑, 백)

Gray Level

Gray Level(그레이 레벨)은 그레이스케일 이미지에서 픽셀이 표현할 수 있는 밝기 단계의 개수를 의미한다.

• 값이 작을수록 어둡고(검정), 값이 클수록 밝다(흰색)
• 일반적으로 0은 검정, 최대값(예:255)는 흰색이다.
• 예를 들어, 8비트 이미지(1픽셀 = 8비트)는
  $2^8 = 256 Gray Levels (0, 255)$
  

(a) 원본 : 456x374 해상도, 256 Gray Levels
(b) 128 Gray Levels
(c) 64 Gray Levels
(d) 32 Gray Levels
(e) 16 Gray Levels
(f) 8 Gray Levels
(g) 4 Gray Levels
(e) 2 Gray Levels

즉, Gray Level은 이미지 맥락에서의 용어이고, Quantization Level은 신호 처리 전반에 적용되는 일반 용어이지만, 실제 의미는 동일하다.

• b : 비트 수(b=8, 256단계)

따라서 "양자화 단계가 적다"는 말은 곧 "Gray Level이 낮다"는 것과 같다.

위 그림에서 연속적인 sin(x) 곡선이 보인다. 이 신호를 일정 간격 점으로 찍으면 샘플링(Sampling) 결과가 된다.
이 단계에서는 값이 여전히 연속적이므로 원본과 형태가 거의 같다.

위 그림에서 곡선 뒤에 촘촘한 가로선이 존재한다. 이 선들이 바로 양자화 단계(Quantization Levels)이다.
샘플링된 값들이 이 선중 하나에 스냅핑된다. 단계가 많으면, 값 손실이 거의 없고 원본에 가깝다.

위 그림에서 가로선 간격이 점점 넓어진다. 가로선이 넓어진다는 의미는 양자화 단계가 적다(Gray Level이 낮다)는 의미이다.

결과적으로 값이 거칠게 변하고, 계단식 톤(banding)이 발생한다.

References

Images from Rafael C. Gonzalez and Richard E.
Wood, Digital Image Processing, 2nd Edition.