[CV] Filtering in the Frequency Domain(3) - Image Sharpening Using Highpass Filters

Yeontachi·2025년 8월 8일

Computer Vision Note

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고역 통과 필터(High pass Filters)는 주파수 영역에서 고주파 성분을 통과시키고, 저주파 성분을 제거하는 필터이다. 주로 이미지의 에지(경계)나 세부 구조를 강조하고, 샤프닝(선명화) 효과를 얻기 위해 사용된다.

이미지의 고주파 성분은 경계, 윤곽선 잡음 등 급격한 밝기 변화와 관련된 정보를 담고 있다. 따라서 고역통과 필터는 이러한 정보를 강조함으로써 흐릿한 이미지를 더 선명하게 만들거나, 객체의 형태를 뚜렷하게 드러낼 수 있다.

Image Sharpening Using Highpass Filters

고역 통과 필터는 일반적으로 저역 통과 필터로부터 유도된다. 즉, 주어진 저역 통과 필터 $H_{hp}(u,v)$ 에 대해 다음과 같이 정의한다.

H_{hp}(u,v) = 1 - H_{lp}(u,v)

이 수식은 저주파를 제거하고, 나머지 주파수만 남기는 역할을 한다.

특징 및 용도로는,
강조 효과 : 흐릿한 이미지를 선명하게 만들고, 디테일을 살릴 수 있다.
경계 강조 : 에지 검출 및 윤곽선 분석에 효과적이다.
후처리 연계 : 샤프닝 결과는 종종 다른 필터링 및 세그먼테이션 작업의 전처리로 사용된다.
저역 필터와의 조합 가능 : High-boost filtering, Unsharp masking 등에서 활용된다.

Highpass Filters

Ideal Highpass Filter

Ideal Highpass Filter는 주파수 영역에서 설정된 차단 주파수 $D_0$ 를 기준으로 그보다 멀리 떨어진 고주파 성분만 통과시키고, 중심에 가까운 저주파 성분은 완전히 제거하는 방식이다.

H(u,v) = \begin{cases} 0 & \text{if } D(u,v) \le D_0 \\ 1 & \text{if } D(u,v) > D_0 \end{cases}

$D(u,v)$ 는 주파수 평면에서 필터 중심 $(P/2, Q/2)$ 로부터의 거리이며, $D_0$ 는 차단 반지름(cutoff frequency)이다.

아래는 Ideal Highpass Filter를 시각적으로 표현한 이미지이다. Ideal Lowpass Filter와 완전히 반대되는 형태임을 확인할 수 있다.
Lowpass Filter

왼쪽 그림을 보면 원형 구멍처럼 생긴 주파수 필터 형태로, 중심 저주파 부분이 0으로 꺼져 있음을 확인할 수 있다. 마스크 형태로 표현된 가운데 그림은 중심부가 검게(차단), 외곽이 흰색(통과)임을 확인할 수 있고, 그래프를 확인해보면 이상적으로 뚝 떨어지는 계단형 그래프(갑작스러운 주파수 전환)임을 확인할 수 있다.

Butterworth Highpass Filter

Butterworth Highpass Filter(BHPF)는 이상적인 고역통과 필터보다 자연스럽고 부드럽게 고주파 성분만을 통과시키는 필터이다. 주파수 차단 경계에서 급격히 0 또는 1로 나뉘는 대신, 점진적으로 전이되며 Ringing artifact를 줄이는 데 유리하다.

H(u,v) = \frac{1}{1+[D_0/D(u,v)]^{2n}}

$D(u,v)$ : 주파수 좌표 $(u,v)$ 와 중심 사이의 거리
$D_0$ : 차단 주파수(cutoff frequency)
$n$ : 필터의 차수(order) - 클수록 더 급격하게 전이됨

아래는 Butterworth Highpass Filter를 시각적으로 나타낸 그림이다. 이것 또한 Lowpass Filter와 정반대이다.

좌측 3D이미지를 보면, 중심 저주파를 점점 깎아내는 부드러운 3D 형태임을 알 수 있고, 가운데는 저주파는 어둡게(0에 가까움), 고주파는 밝게(1에 가까움) 표현된다. 우측 그래프는 $n$ 이 커질수록 이상적 필터 형태에 가까워진다.

Ideal보다 자연스러운 필터링이 가능하며 차수 $n$ 조절을 통해 경계의 급격함 또한 조절 가능하다. Ringing 현상이 이상적 필터보다 훨씬 적고, 고주파 성분을 강조하면서도 저주파 제거를 부드럽게 처리한다.

Gaussian Highpass Filter

Gaussian Highpass Filter(GHPF)는 고주파 성분을 부드럽게 통과시키면서, 저주파 성분은 자연스럽게 억제하는 필터이다. 특히, 경계선(Edge) 강조 및 이미지 선명화에 자주 사용되며, Ringing artifact가 거의 없다는 큰 장점을 가진다.

H(u,v) = 1 - e^{-\frac{D^2(u,v)}{2D_0^2}}

$D(u,v)$ : 주파수 좌표 $(u,v)$ 와 중심 간 거리
$D_0$ : 차단 주파수(cutoff frequency)

아래는 Gaussian Highpass Filter를 시각적으로 나타낸 이미지이다. 마찬가지로 Lowpass와 정반대 형태를 보인다.

중심 저주파 영역이 깊게 꺼진 형태이며, 우측 이미지를 확인해보면, 이상적 고역필터와 달리, 부드러운 전이 곡선을 가진다.

Gaussian Highpass Filter는 저주파 성분을 점진적으로 억제하며, 고주파 성분을 강조한다.(부드러운 에지 강조) Ringing 현상이 없어 텍스트나 인물 사진 등 세밀한 구조에 적합하며, 수학적으로 미분 가능하여 필터 형태가 자연스럽다.

Highpass Filter Summary
다음은 필터 별 시각화 비교 자료이다.

아래는 각각의 고주파 필터별 예시 이미지 비교이다.

Hipass Filter Spatial Response Comparison

아래 이미지는 각각의 고역 통과 필터(Highpass Filter)의 공간 영역(Spatial domain)에서의 반응을 시각적으로 비교한 것이다.

Ideal Highpass Filter는 주파수에서 갑작스럽게 고주파를 통과시키므로, 공간 도메인에서 Ringing이 많이 발생한다.

Butterworth Highpass Filter의 경우 이상적인 형태보다 부드럽게 전이되며 ringing이 줄지만 미세한 overshoot**는 여전히 존재한다.

Gaussian Highpass Filter는 공간 및 주파수 모두에서 가장 부드러운 특성을 가지며 ringing이 거의 없어, 민감한 이미지 처리에 적합하다.

References

Images from Rafael C. Gonzalez and Richard E.
Wood, Digital Image Processing, 2nd Edition.

Yeontachi

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