선형대수 : 02 행렬 - 3 : 기타 특수 행렬

yeppi1802·2024년 6월 13일
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❇️ 요약

  • 단위행렬
  • 대각행렬
  • 삼각행렬
  • 대칭행렬
  • 반대칭행렬

기타 특수 행렬

🔆 단위행렬

1n×n=diag(1,1,1,...,1)⏟n=(100⋯0010⋯0001⋯0⋮⋮⋮⋱⋮000⋯1)n×n1_{n\times n}=\text{diag}\underbrace{(1,1,1,...,1)}_{\text{n}}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\\end{pmatrix}_{n\times n}

diag\text{diag} : 대각
대각이 모두 1인 행렬 = 단위 행렬

  • 작은 크기의 단위 행렬들은 다음과 같다.
11×1=(1)1_{1\times1}=(1)\\
12×2=(1001)1_{2\times2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\\
13×3=(100010001)1_{3\times3}=\begin{pmatrix} 1 & 0 &0\\ 0 & 1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}

수식 : 1m×mA=A1n×n=A=1m×m×Am,  n=Am,n×1n×n1_{m\times m}A=A1_{n\times n}=A\\ = 1_{m\times \textcolor{red}{m}}\times A_{\textcolor{red}{m},\;n}=A_{m,\textcolor{red}{n}}\times1_{\textcolor{red}{n}\times n}

🔆 대각행렬

  • 대각선에만 값, 나머지는 0
diag(d1,...,dn)=(d1d2⋱dn)\text{diag}{(d_1,...,d_n)}=\begin{pmatrix}d_1 & & & \\ & d_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & d_n\\\end{pmatrix}

수식 : diagm×n((d1,...,dmin{m,  n}))\text{diag}_{m\times n}((d_1,...,d_{min\{m,\;n\}}))

  • 다음 실수 4 × 4 정사각 행렬은 대각 행렬이다.
(200005000050000−1)\begin{pmatrix}\textcolor{red}{2} & 0 & 0 & 0 \\0 & \textcolor{red}{5} & 0 & 0 \\0 & 0 & \textcolor{red}{5} & 0 \\0 & 0 & 0 & \textcolor{red}{-1} \\\end{pmatrix}
  • 다음 실수 5 × 3 행렬은 대각 행렬이다.
(100000006000000)\begin{pmatrix} \textcolor{red}{1} & 0 & 0 \\ 0 & \textcolor{red}{0} & 0 \\ 0 & 0 & \textcolor{red}{6}\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}
  • 다음 실수 2 × 4 행렬은 대각 행렬이다.
(90000500)\begin{pmatrix} \textcolor{red}{9} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \textcolor{red}{5} & 0 & 0\\ \end{pmatrix}

🔆 삼각행렬

  • 대각행렬이 다 채워지고 한쪽에만 값 있는 행렬

  • 소거법, 선형대수 진행할 때 사용

  • 하삼각행렬

    • 대각행렬을 기준으로 아래쪽이 채워져 있음
L=[l1,10l2,1l2,2l3,1l3,2⋱⋮⋮⋱⋱ln,1ln,2⋯ln,n−1ln,n]L = \begin{bmatrix} l_{1,1} & & & & 0 \\ l_{2,1} & l_{2,2} & & &\\ l_{3,1} & l_{3,2} & \ddots & &\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots&\\ l_{n,1} & l_{n,2} & \cdots &l_{n,n-1} & l_{n,n} \\ \end{bmatrix}
  • 상삼각행렬
    • 대각행렬을 기준으로 위쪽이 채워져 있음
U=[u1,1u1,2u1,2⋯u1,nu2,2u2,3⋯u2,n⋱⋱⋮⋱un−1,n0un,n]U = \begin{bmatrix} u_{1,1} & u_{1,2} & u_{1,2} &\cdots & u_{1,n} \\ & u_{2,2} &u_{2,3} & \cdots&u_{2,n}\\ & & \ddots & \ddots&\vdots\\ & & & \ddots&u_{n-1,n}\\ 0 & & & & u_{n,n} \\ \end{bmatrix}
  • 예시
    • 이때 우행렬의 값을 구할 수 있음
[21253445806][xyzk]  =  [1336]\begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 &5 \\ & 3 &4 & 4\\ & & 5 & 8\\ 0& & & 6\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y\\ z\\ k\\ \end{bmatrix}\;=\; \begin{bmatrix} 1 \\ 3\\ 3\\ 6\\ \end{bmatrix} \\
0×x+0×y+0×z+6×k=6,    ∴k=10×x+0×y+5×z+8×1=3,    ∴z=−10\times x + 0\times y + 0\times z+ 6 \times k = 6 ,\;\;\therefore k=1\\ 0\times x + 0\times y + 5\times z+ 8 \times 1 = 3 ,\;\;\therefore z=-1\\

🔆 대칭행렬

  • 대각선을 기준으로 값이 똑같은 행렬
(124235456)즉,    A=ATAij=Aji\begin{pmatrix} 1 & \textcolor{red}{2} & \textcolor{blue}{4} \\ \textcolor{red}{2} & 3 & \textcolor{green}{5} \\ \textcolor{blue}{4} & \textcolor{green}{5} & 6 \\ \end{pmatrix} \qquad 즉, \;\;\begin{matrix} A=A^T\\\\A_{ij}=A_{ji} \end{matrix}

수식 :

A=12(A+AT)+12(A−AT)A= \frac 1 2(A+A^T)+\frac 1 2(A- A^T)
=A2+AT2+A2−AT2= \frac A 2+\frac {A^T} 2+\frac A 2-\frac {A^T} 2

🔆 반대칭행렬

  • 대각선을 기준으로 절대 값은 같으나 부호가 반대인 행렬
(02−1−20−4140)AT=−A즉,임의의1≤i,  j≤n에대하여,aji=−aij\begin{pmatrix} 0 & \textcolor{green}{2} & \textcolor{red}{-1} \\ \textcolor{green}{-2} & 0 & \textcolor{blue}{-4} \\ \textcolor{red}{1} & \textcolor{blue}{4} & 0 \\ \end{pmatrix} \qquad \begin{matrix} A^T=-A\\\\즉, 임의의 1\le i,\;j\le n에대하여, \\\\a_{ji}=-a_{ij} \end{matrix}
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