[금융/통계] 요인 모형: Factor Models and Types of Factors

yewonkim·2020년 8월 14일
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🏃‍♀️ 요인 모형 Factor Model

요인 모형의 가정

  • 분석 대상인 다수의 데이터가 소수의 공통 요인(common factor)을 가진다.
  • 즉, 다수 데이터의 가변성을 설명하는 소수의 공통 변수들이 존재한다.

예시: 주식 수익률

주식 수익률 시계열은 시장 초과수익률, 거시 경제 지표, 기업의 펀더멘탈 지표 등의 공통 요인을 갖는다.

📈 선형 요인 모형 Linear Factor Model

  • 금융공학에서 자산 수익률은 보통 선형 요인 모형으로 설명된다.
  • (e.g.e.g. CAPM(CML, SML), SCL, FF Model, CMZ Model 등)

🧍 일요인 모형 Single Factor Model

CAPM 증권시장선(SML)

Ri=Rf+βi(RmRf)R_i = R_f + \beta_i(R_m - R_f)

증권특성선(SCL: Secutiry Characteristic Line)

Ri=αi+βiRmR_{i} = \alpha_{i} + \beta_{i} R_{m}

👪 다요인 모형 Multifactor Model

금융 시장의 다요인 모형

  • 자산 기대수익률을 시장 베타로만 설명하는 것은 불완전하다.
  • 시장이상현상(Market Anomaly)이 관측되기 때문이다.

지금까지 발견된 시장이상현상

  • Banz(1981): 기업규모(Firm Size) (※소기업 효과(small-firm effect))
  • Fama and French(1992): 장부가/시가 비율(Book-to-Market Ratio)
  • Jegadeesh and Titman(1993): 단기추세현상(Short-term Momentum)
  • De Bondt and Thaler(1985): 장기반전현상(Long-term Reversal)

개별자산 수익률 다요인 모형

K개의 요인으로 구성된 자산 i의 수익률

ri=k=1Kbi,kfk+sir_i = \sum_{k=1}^{K}{b_{i, k}f_k}+s_i
ri=bi,1f1+bi,2f2++bi,KfK+sir_i = b_{i,1}f_1 + b_{i,2}f_2 + \dots + b_{i,K}f_K + s_i

rir_i : 자산 수익률 (i=1,2,Ni = 1, 2, \dots N)

  • 자산 i의 수익률

fkf_k : 공통요인(잠재변수) 수익률 (k=1,2,Kk = 1, 2, \dots K)

  • 자산 i의 수익률 변동성을 설명하는 요인 k의 수익률
  • (e.g.e.g. 시장 초과수익률, 거시 경제 지표, 펀더멘탈 지표 등)

bi,kb_{i,k} : 공통요인 계수

  • 요인 k가 자산 i의 수익률 변동성을 설명하는 정도
  • \Longrightarrow 자산 i의 단위 변화량에 대한 요인 k의 단위 변화량

sis_i : 고유 수익률

  • 자산 i의 실제 수익률에서 기대 수익률을 제외한 고유 수익률

요인 모형의 전제

(1) Corr(si,fk)=0Corr(s_i, f_k) = 0

  • 모든 고유 수익률은 각 요인 수익률과 독립적이다.

(2) Corr(si,sj)=0Corr(s_i, s_j) = 0

  • 모든 고유 수익률은 서로 독립적이다. (iji \neq j)

👩‍💻 수익률 다요인 모형

자산 수익률 벡터

ri=bi,1f1+bi,2f2++bi,KfK+sir_i = b_{i,1}f_1 + b_{i,2}f_2 + \dots + b_{i,K}f_K + s_i
r=[r1r2rN], B=[b1,1b1,2b1,Kb2,1b2,2b2,KbN,1bN,2bN,K], f=[f1fK], s=[s1s2sN]\text{r} = \begin{bmatrix}r_1\\r_2\\\vdots\\r_N\end{bmatrix},\ \text{B} = \begin{bmatrix} b_{1,1} & b_{1,2} & \dots & b_{1,K}\\ b_{2,1} & b_{2,2} & \dots & b_{2,K}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ b_{N,1} & b_{N,2} & \dots & b_{N,K} \end{bmatrix},\ \text{f} = \begin{bmatrix}f_1\\\vdots\\f_K\end{bmatrix},\ \text{s} = \begin{bmatrix}s_1\\s_2\\\vdots\\s_N\end{bmatrix}
r=Bf+s\text{r}=\text{Bf}+\text{s}

자산 수익률 공분산 행렬

※ 분포 X와 Y의 공분산

Cov(X,Y)=1ni=1n(XiXˉ)(YiYˉ)=E[(XiXˉ)(YiYˉ)]Cov(X, Y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})} = E[(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})]

(De-meaning 후) Xˉ=0,Yˉ=0\bar{X}=0, \bar{Y}=0일 때,

Cov(X,Y)=E(XY)Cov(X, Y) = E(XY)

E(rrT)=E[(Bf+s)(Bf+s)T]E(rrT)=E[(Bf+s)(fTBT+sT)]E(rrT)=E(BffTBT+BfsT+sfTBT+ssT)E(rrT)=BE(ffT)BT+BE(fsT)+E(sfT)BT+E(ssT)E(\text{r}\text{r}^T) = E[(\text{Bf}+\text{s})(\text{Bf}+\text{s})^T] \\ E(\text{r}\text{r}^T) = E[(\text{Bf}+\text{s})(\text{f}^T\text{B}^T+\text{s}^T)] \\ E(\text{r}\text{r}^T) = E(\text{Bf}\text{f}^T\text{B}^T+\text{Bf}\text{s}^T+\text{s}\text{f}^T\text{B}^T+\text{s}\text{s}^T) \\ E(\text{r}\text{r}^T) = \text{B}E(\text{f}\text{f}^T)\text{B}^T+\text{B}E(\text{f}\text{s}^T)+E(\text{s}\text{f}^T)\text{B}^T+E(\text{s}\text{s}^T)

E(fsT)=0,E(sfT)=0\longrightarrow E(\text{f}\text{s}^T) = 0, E(\text{s}\text{f}^T) = 0
( \because s\text{s}f\text{f}는 독립 \leftarrow 요인 모형의 전제 (1) )

E(rrT)=BE(ffT)BT+E(ssT)E(\text{r}\text{r}^T) = \text{B}E(\text{f}\text{f}^T)\text{B}^T+E(\text{s}\text{s}^T)

E(rrT)=BFBT+SE(\text{r}\text{r}^T) = \text{B}\text{F}\text{B}^T+\text{S}

F\text{F} : F = np.cov(f)
S\text{S} : S = np.cov(s) = np.diag(s)
( \because sis_isjs_j (iji \neq j)는 독립 \leftarrow 요인 모형의 전제 (2) )

🌟 수익률 다요인 모형 요약

수익률 벡터 : r=Bf+s\text{r}=\text{Bf}+\text{s}
공분산 행렬 : E(rrT)=BFBT+SE(\text{r}\text{r}^T) = \text{B}\text{F}\text{B}^T+\text{S}

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금융/개발 공부 중입니다. https://github.com/yewon-kim

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