[금융] Efficient Frontier/CML 효율적 투자선과 자본시장선

yewonkim·2020년 8월 4일
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Quantative Trading

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📁 Modern Portfolio Theory 포트폴리오 이론

💸 Portfolio의 기대수익률과 위험

기대수익률: 수익률의 평균

E(Rp)=iwiE(Ri)=wTrE(R_p) = \sum_{i}{w_iE(R_i)} = \text{w}^T\text{r}
(w: 가중치 벡터, r: 구성 자산 수익률 벡터)(\text{w}:\ 가중치\ 벡터,\ \text{r}:\ 구성\ 자산\ 수익률\ 벡터)

위험: 수익률의 분산 또는 표준편차

  • σ=0\sigma = 0 : 무위험자산 (예금, 국공채 등)
  • σ0\sigma \neq 0 : 위험자산 (대부분의 자산)
    σp2=iwi{RiE(Rp)}2=wTPw\sigma_p^2 = \sum_{i}{w_i\{R_i-E(R_p)\}^2} = \text{w}^TP\text{w}
    (w: 가중치 벡터, P: 공분산 행렬)(\text{w}:\ 가중치\ 벡터,\ \text{P}:\ 공분산\ 행렬)

💡 Efficient Frontier 효율적 투자선

📚 포트폴리오 집합

  • MPT로 도출된 각 포트폴리오의 기대수익률과 위험 수준을 바탕으로, 가능한 모든 포트폴리오들을 위험-기대수익률 그래프에 표시해 보았다.

    MPT의 지배원리: 효율적인 포트폴리오

    • 동일 위험 수준: 기대수익률이 높은 포트폴리오
    • 동일 기대수익률: 위험 수준이 낮은 포트폴리오
  • 지배원리에 따라 효율적인 포트폴리오들을 선택하면, 최소 분산 포트폴리오를 시작으로 concave한 곡선이 그려진다.
  • 그 선이 효율적 투자선(Efficient Frontier)이다.

🏗️ 무위험자산을 고려한 포트폴리오 재구성

💵 자본배분선(CAL : Capital Allocation Line)

  • σ=0\sigma=0 선상의 한 무위험자산(RfR_f)을 고려하여 포트폴리오를 재구성해보자.
  • 효율적 투자선상의 포트폴리오들과 무위험자산을 직선으로 연결해, 여러 기울기의 자본배분선(CAL)을 그릴 수 있다.
  • 지배원리에 의해, 가장 효율적인 CAL은 효율적 투자선에 tangency한 CAL라고 할 수 있다.

💰 시장 포트폴리오(Market Portfolio)

  • 해당 접점에 위치한 포트폴리오를 시장 포트폴리오라고 한다.

무위험자산이 존재할 때, Efficient Frontier 상에 존재하는 위험자산 포트폴리오 중 가장 효율적인 포트폴리오

시장 포트폴리오의 특징

  • 가능한 모든 투자가능자산들로 구성됨
  • 각 자산의 시가총액 비율대로 평균/분산이 가중되어 있음

시장 포트폴리오의 기대수익률(E(Rm)E(R_m))과 위험(σm\sigma_m)

  • 시가총액법으로 산출한 종합주가지수를 이용하여 계산 가능

📈 자본시장선(CML, Capital Market Line)

  • 해당 tangent line을 자본시장선(CML)이라고 한다.
E(Rp)=Rf+(E(Rm)Rfσm)σpE(R_p) = R_f + (\frac{E(R_m) - R_f}{\sigma_m})\sigma_p

무위험자산과 시장 포트폴리오로 구성된 효율적인 포트폴리오들의 집합

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금융/개발 공부 중입니다. https://github.com/yewon-kim

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