🏃‍♀️ 요인 모형 Factor Model

요인 모형의 가정

• 분석 대상인 다수의 데이터가 소수의 공통 요인(common factor)을 가진다.
• 즉, 다수 데이터의 가변성을 설명하는 소수의 공통 변수들이 존재한다.

예시: 주식 수익률

주식 수익률 시계열은 시장 초과수익률, 거시 경제 지표, 기업의 펀더멘탈 지표 등의 공통 요인을 갖는다.

📈 선형 요인 모형 Linear Factor Model

• 금융공학에서 자산 수익률은 보통 선형 요인 모형으로 설명된다.
• ($e.g.$ CAPM(CML, SML), SCL, FF Model, CMZ Model 등)

🧍 일요인 모형 Single Factor Model

CAPM 증권시장선(SML)

증권특성선(SCL: Secutiry Characteristic Line)

👪 다요인 모형 Multifactor Model

금융 시장의 다요인 모형

• 자산 기대수익률을 시장 베타로만 설명하는 것은 불완전하다.
• 시장이상현상(Market Anomaly)이 관측되기 때문이다.

지금까지 발견된 시장이상현상

• Banz(1981): 기업규모(Firm Size) (※소기업 효과(small-firm effect))
• Fama and French(1992): 장부가/시가 비율(Book-to-Market Ratio)
• Jegadeesh and Titman(1993): 단기추세현상(Short-term Momentum)
• De Bondt and Thaler(1985): 장기반전현상(Long-term Reversal)

개별자산 수익률 다요인 모형

K개의 요인으로 구성된 자산 i의 수익률

$r_i$ : 자산 수익률 ($i = 1, 2, \dots N$)

• 자산 i의 수익률

$f_k$ : 공통요인(잠재변수) 수익률 ($k = 1, 2, \dots K$)

• 자산 i의 수익률 변동성을 설명하는 요인 k의 수익률
• ($e.g.$ 시장 초과수익률, 거시 경제 지표, 펀더멘탈 지표 등)

$b_{i,k}$ : 공통요인 계수

• 요인 k가 자산 i의 수익률 변동성을 설명하는 정도
• $\Longrightarrow$ 자산 i의 단위 변화량에 대한 요인 k의 단위 변화량

$s_i$ : 고유 수익률

• 자산 i의 실제 수익률에서 기대 수익률을 제외한 고유 수익률

요인 모형의 전제

(1) $Corr(s_i, f_k) = 0$

• 모든 고유 수익률은 각 요인 수익률과 독립적이다.

(2) $Corr(s_i, s_j) = 0$

• 모든 고유 수익률은 서로 독립적이다. ($i \neq j$)

👩‍💻 수익률 다요인 모형

자산 수익률 벡터

$\text{r}=\text{Bf}+\text{s}$

자산 수익률 공분산 행렬

※ 분포 X와 Y의 공분산

$Cov(X, Y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})} = E[(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})]$

(De-meaning 후) $\bar{X}=0, \bar{Y}=0$일 때,

$Cov(X, Y) = E(XY)$

$E(\text{r}\text{r}^T) = E[(\text{Bf}+\text{s})(\text{Bf}+\text{s})^T] \\ E(\text{r}\text{r}^T) = E[(\text{Bf}+\text{s})(\text{f}^T\text{B}^T+\text{s}^T)] \\ E(\text{r}\text{r}^T) = E(\text{Bf}\text{f}^T\text{B}^T+\text{Bf}\text{s}^T+\text{s}\text{f}^T\text{B}^T+\text{s}\text{s}^T) \\ E(\text{r}\text{r}^T) = \text{B}E(\text{f}\text{f}^T)\text{B}^T+\text{B}E(\text{f}\text{s}^T)+E(\text{s}\text{f}^T)\text{B}^T+E(\text{s}\text{s}^T)$

$\longrightarrow E(\text{f}\text{s}^T) = 0, E(\text{s}\text{f}^T) = 0$
( $\because$ $\text{s}$와 $\text{f}$는 독립 $\leftarrow$ 요인 모형의 전제 (1) )

$E(\text{r}\text{r}^T) = \text{B}E(\text{f}\text{f}^T)\text{B}^T+E(\text{s}\text{s}^T)$

$E(\text{r}\text{r}^T) = \text{B}\text{F}\text{B}^T+\text{S}$

$\text{F}$ : F = np.cov(f)
$\text{S}$ : S = np.cov(s) = np.diag(s)
( $\because$ $s_i$와 $s_j$ ($i \neq j$)는 독립 $\leftarrow$ 요인 모형의 전제 (2) )

🌟 수익률 다요인 모형 요약

수익률 벡터 : $\text{r}=\text{Bf}+\text{s}$
공분산 행렬 : $E(\text{r}\text{r}^T) = \text{B}\text{F}\text{B}^T+\text{S}$