[Quantum Computing] Week 9 : 양자 회로의 기초 I

Yoongee Yeo·2024년 12월 4일
양자컴퓨터양자회로
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Quantum Computing

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Week 9: 양자 회로의 기초 I

Uncertainty Principle(불확정성의 원리)

  • 빛의 상태를 측정하는 아래와 같은 편광 측정 상태를 가정해보자.

    • 초기상태 : ∣ψ⟩=α∣H⟩+β∣V⟩|\psi\rangle = \alpha|H\rangle + \beta|V\rangle 이며
    • 이때 ∣H⟩∣H⟩: 수평 편광 상태, ∣V⟩∣V⟩: 수직 편광 상태를 나타내며 이를 통한 편광 측정기 PMD1, PMD2는 아래와 같다.
      • PMD1 : ∣H⟩∣H⟩ 측정시 +1, ∣V⟩∣V⟩ 측정시 -1을 출력한다.
      • PMD2 : ∣H⟩⟨H∣−∣V⟩⟨V∣|H\rangle\langle H| - |V\rangle\langle V|
    • 이 경우 PMD1에서 최초 측정한 결과가 PMD1 -> PMD2 -> PMD1 로 측정하였을때 측정값이 바뀌지 않음.
    • ∣D⟩,∣A⟩∣D⟩,∣A⟩를 basis로 하여 편광 측정을 하는 PMD3는 아래와 같다.
      • PMD3 : ∣D⟩⟨D∣−∣A⟩⟨A∣|D\rangle\langle D| - |A\rangle\langle A|
    • 이 경우 PMD1에서 최초 측정한 결과가 PMD1 -> PMD2 -> PMD1 로 측정하였을때 측정값이 바뀌게 됨!

  • 즉 편광 측정을 통해, 양자 상태의 측정 결과가 PMD와 같은 특정한 측정기에 의존하며 하나의 측정 결과로 모든 정보를 얻는 것이 불가능하다는 불확정성 원리를 시각적 및 실험으로 설명할 수 있음.

  • 불확정성 원리와 commute 관계

    • commute 정의 : [P1,P2]=P1P2−P2P1[P_1,P_2] = P_1P_2 - P_2P_1
    • 두 operator의 commute 결과값, 즉 [P1,P2]=0[P_1,P_2] = 0일 경우 동시에 정확하게 측정 가능하며 PMD1, PMD2와 같이 측정값이 변하지 않음.
    • [P1,P2]!=0[P_1,P_2] != 0 일 경우, 동시에 정확한 측정이 불가능하며 PMD1,PMD3와 같이 측정값이 변하게 됨.

Collapse of Quantum State(양자상태의 붕괴)

  • 편광 상태를 점차 약하게 만들어 단일 광자(Photon) 상태로 만들면 어떻게 될까?
    • (양자역학적 해석) 광자의 갯수에 상관없이, 측정될 때마다 양자 상태가 붕괴하여 새로운 상태로 바뀌는 현상이 관찰됨. 예를들면, 편광상태 ∣ψ⟩=α∣H⟩+β∣V⟩|\psi\rangle = \alpha|H\rangle + \beta|V\rangle 에서 측정 시 ∣H⟩∣H⟩, ∣V⟩∣V⟩ 중 하나의 상태로 특정 확률에 따라 붕괴가 된다.
    • (고전 물리학) 고전 물리학은 광자를 연속적인 전자기파로 간주하며, 단일 광자의 개념을 다루지 않음. 단일 광자 수준에서는 이러한 해석이 불가능하다...
  • 이러한 편광측정 실험을 통해 빛은 입자로 이루어짐을 확실히 알 수 있음. 단일 광자 수준에서는 양자역학이 유일하게 관찰 결과를 설명할 수 있는 이론이 된다.

Quantum Bits(Qubit)

  • Qubit : 이진수 0과 1의 선형 조합으로 표현되는 2차원 복소 벡터 공간에서의 벡터
    • 임의의 큐비트 ∣ψ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle
  • 이러한 큐비트를 측정 시 ∣ψ⟩∣ψ⟩는 0 또는 1으로 붕괴하며 그 확률은 아래와 같음.
    • ∣α∣2+∣β∣2=1∣α∣^2 + ∣β∣^2 = 1
    • 0일 확률 : ∣α∣2∣α∣^2
    • 1일 확률 : ∣β∣2∣β∣^2
  • 그러나 한번의 측정만으로는 측정 후 양자의 상태가 계속해서 붕괴하며 변화하기 때문에 α,β\alpha, \beta 의 정확한 값을 알 수 없음. 따라서 다양한 basis 벡터에서 여러번 측정을 수행해야 하며 다수의 측정 결과를 통해 α,β\alpha, \beta의 값을 통계적으로 추정가능함.

Bloch sphere

  • 큐비트의 상태를 구면 좌표계로 나타내는 시각화 방식
  • 임의의 큐비트 ∣ψ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle 에서 α,β\alpha, \beta를 구면좌표계로 나타내기 위해 아래와 같이 변환할 수 있다.
    • ∣ψ⟩=eiγ(cos⁡θ2∣0⟩+eiϕsin⁡θ2∣1⟩)|\psi\rangle = e^{i\gamma} \left( \cos\frac{\theta}{2}|0\rangle + e^{i\phi}\sin\frac{\theta}{2}|1\rangle \right)
    • eiγe^{i\gamma}는 global phase(글로벌 위상)으로, 물리적으로 측정 불가능함. 따라서 이 값을 무시하고
      ∣ψ⟩=cos⁡θ2∣0⟩+eiϕsin⁡θ2∣1⟩|\psi\rangle = \cos\frac{\theta}{2}|0\rangle + e^{i\phi}\sin\frac{\theta}{2}|1\rangle 로 상태표현 가능
  • 위와 같은 방식으로 임의의 큐비트 상태를 구면 좌표계에서 mapping 할 수 있다.

Single-qubit gates

  • 큐비트 상태 ∣0⟩,∣1⟩|0\rangle, |1\rangle은 아래와 같이 나타내어진다.
    ∣0⟩=[10],∣1⟩=[01]|0\rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad |1\rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}

  • X gate : 고전적인 NOT 게이트와 유사하며, 입력 큐비트를 반전시키는 operator
    X=[0110]X = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}
    일반적인 큐비트 ∣ψ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle 에서 X gate 동작 시,
    X∣ψ⟩=α∣1⟩+β∣0⟩X|\psi\rangle = \alpha|1\rangle + \beta|0\rangle 가 된다.

    • Bloch sphere 에서의 X 게이트 : 큐비트 상태를 X축을 기준으로 180° 회전

  • Z 게이트 : ∣0⟩∣0⟩ 상태를 그대로 유지하고, ∣1⟩∣1⟩ 상태에 음수를 곱함.

    Z=[100−1]Z = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}
    Z∣ψ⟩=α∣0⟩−β∣1⟩Z|\psi\rangle = \alpha|0\rangle - \beta|1\rangle
    • Bloch sphere에서의 Z 게이트 : Z축을 기준으로 180° 회전

  • Y 게이트는 아래와 같은 행렬로 정의됨

    Y=[0−ii0]Y = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}
    Y∣ψ⟩=iβ∣0⟩−iα∣1⟩Y|\psi\rangle = i\beta|0\rangle - i\alpha|1\rangle
    • Y 게이트는 큐비트를 복소수 𝑖𝑖 계수를 포함한 상태로 변환하며, Bloch sphere에서 Y축을 기준으로 180° 회전

  • Hadamard 게이트는 아래 행렬과 같이 정의됨

    H=12[111−1]H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}
    H∣ψ⟩=12((α+β)∣0⟩+(α−β)∣1⟩)H|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( (\alpha + \beta)|0\rangle + (\alpha - \beta)|1\rangle \right)
    • 수식을 통해 확인가능한 점은, Hadamard 게이트는 큐비트를 ∣0⟩∣0⟩와 ∣1⟩∣1⟩ 상태의 균등한 중첩 상태로 변환하거나, 중첩 상태를 다시 고유 상태로 변환하는 역할을 수행한다는 점이다.
    • Hadamard 게이트의 특성 : Hadamard Gate를 두 번 적용하면 원래 상태로 되돌아오게 된다. Single-qubit gate는 Bloch sphere 상에서 회전에 해당되는데, hadamard 게이트는 X,Y,Z축이 아닌 특정한 대각선 축을 기준으로 한 회전이 되며 두번 적용 시 다시 원래 자리로 돌아오게 되는 특성이 있음.
      H2=IH^2 = I
    • Bloch Sphere에서의 Hadamard 게이트 : Z축과 X축 사이에서 45° 대각선 축을 기준으로 180° 회전

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