Chatper 03 저주파 통과 필터

저주파 통과 필터(low pass filter)는 저주파 신호는 통과시키고 고주파 신호는 걸러내는 필터를 말한다. 대개 측정하려는 신호는 저주파이고, 잡음은 고주파 이기 때문이다.

3.1 이동평균의 한계

이동 평균은 모든 데이터에 동일한 가중치를 부여한다. 이는 변화가 빠를수록 시간 지연이 더 커진다.

3.2 1차 저주파 통과 필터

아래와 같이 1차 저주파 통과 필터를 정의하자.

$\bar{x}_k=\alpha\bar{x}_{k-1}+(1-\alpha)x_k$

여기서 $\alpha$는 0보다 크고 1보다 작은 임의의 상수이다. 지금부터는 평균이라는 단어 대신 추정값이라는 용어를 사용하자.

우선 직전 추정값은 아래와 같이 주어져있다고 가정하자.

$\bar{x}_{k-1}=\alpha\bar{x}_{k-2}+(1-\alpha)x_{k-1}$
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위 식을 현재 추정값에 대입하면 아래와 같다.

$\bar{x}_k=\alpha^2\bar{x}_{k-2}+\alpha(1-\alpha)x_{k-1}+(1-\alpha)x_k$

$\alpha$가 1보다 작으므로, $\alpha(1-\alpha)<1-\alpha$기 때문에 $x_k$가 $x_{k-1}$보다 큰 가중치를 받고 있음을 알 수 있다.

따라서 저주파 통과 필터는 오래된 측정값일수록 더 작은 가중치를 부여받는 필터이다. 이러한 1차 저주파 통과 필터를 지수 가중(exponentially weighted) 이동평균 필터라고도 부른다.

일반적으로 $\alpha$값이 작으면 잡음이 더 많고, 크면 잡음은 줄어드는 대신, 지연 시간이 많이 커진다.