Chapter 04 칼만필터

4.1 칼만 필터 알고리즘

칼만 필터 알고리즘은 아래의 단계로 이루어진다.
0. 초깃값 선정
1. 추정값과 오차 공분산 예측
2. 칼만 이득 계산
3. 추정값 계산

• 측정값 input
• 추정값 output

4. 오차 공분산 계산

칼만 필터는 측정값 $z_k$가 입력되면 내부에서 처리한 다음 추정값 $\hat{x}_k$를 출력한다. 변수 아래첨자인 $k$는 칼만 필터 알고리즘이 반복해서 수행된다는 점을 명시하기 위해 붙여있다.

4.2 칼만 필터 알고리즘의 계산 과정

예측 단계

$\hat{x}_k^-=A\hat{x}_{k-1}$
$P_k^-=AP_{k-1}A^T+Q$

예측 단계에서는 다음 단계에서 사용되는 두 변수 $\hat{x}_k^-$와 $P_k^-$를 계산한다. 위첨자 '-'는 예측값을 의미한다.

칼만 이득 계산

$K_k=P_k^-H^t(HP_k^-H^T+R)^{-1}$

칼만 이득 $K_k$를 계산한다. 이 단계에서 사용되는 $P_k^-$는 예측 단계에서 계산한 값을 사용한다. 위 수식에서 사용되는 $H$, $R$은 칼만 필터 알고리즘 밖에서 미리 결정되는 값이다.

추정값 계산

$\hat{x}_k=\hat{x}_k^-+K_k(z_k-H\hat{x}_k^-)$

입력된 측정값으로 추정값을 계산한다.

오차 공분산 계산

$P_k=P_k^--K_kHP_k^-$

오차 공분산을 구한다. 오차 공분산은 추정값이 얼마나 정확한지를 알려주는 척도로 사용된다. 보통 오차 공분산을 검토해서 앞서 계산한 추정값을 믿고 쓸지 버릴지를 판단한다.

위 수식에서 시스템 모델과 관련된 네 개의 변수 $A$, $H$, $Q$, $R$은 칼만 필터를 구현하기 전에 미리 결정해야 한다. 이 값들은 대상 시스템과 칼만 필터를 사용하는 목적에 따라 설계자가 사전에 확정한다.

위 변수를 제외한 나머지 변수는 설계자가 임의로 변경할 수 없다. 따라서 칼만 필터의 성능이 원하는 만큼 나오지 않을 때, 조정할 수 있는 변수는 시스템 모델과 관련된 네 개의 변수 뿐이다.

칼만 필터를 의미를 기준으로 두 단계로 분류하면 아래와 같다.

예측 과정

수식에서는 직전 추정값인 $\hat{x}_{k-1}$과 직전 오차 공분산인 $P_{k-1}$이 입력되면 예측값인 $\hat{x}_k^-$와 $P_k$를 계산한다. 여기서 사용되는 시스템 모델 변수는 $A$와 $Q$가 있다.

추정 과정

추정 과정에서는 추정값인 $\hat{x}_k$와 오차 공분산인 $P_k$를 계산한다. 이 단계에서는 예측 과정의 예측값과 측정값 $z_k$를 전달받아 사용한다. 여기서 사용되는 시스템 모델 변수는 $H$와 $R$이다.