수열에서 수렴과 발산의 정의

(Definition) 수열 $\{a_n\}$이 임의의 $\varepsilon >0$에 대하여 대응되는 자연수 $N$이 있어서

을 만족하면 $\{a_n\}$이 $L$에 "수렴한다"라고 한다. 수렴하지 않으면 "발산한다"라고 한다. $\{a_n\}$이 $L$에 수렴하면 기호로

으로 나타낸다.

(Definition) 수열 $\{a_n\}$이 임의의 실수 $M$에 대하여 대응되는 자연수 $N$이 있어서

을 만족하면 $\{a_n\}$은 "무한대로 발산한다"라고 한다. 이를 기호로

으로 나타낸다. 또는 임의의 실수 $m$에 대하여 대응되는 자연수 $N$이 있어서

을 만족하면 $\{a_n\}$은 "음의 무한대로 발산한다"라고 한다. 이를 기호로

으로 나타낸다.

Ex. $\lim_{n\rightarrow\infty}1/n = 0$이 됨을 증명해보자. 즉,

을 만족하는 자연수 $N$이 존재함을 보여야 한다. 이것은 $1/n<\varepsilon$을 만족해야하는데, 이는 모든 $n>N$에 대하여 $n>1/\varepsilon$이라는 뜻이다. 그런데 이는 $1/\varepsilon$보다 큰 모든 자연수 $N$에 대하여 만족하므로 $\lim_{n\rightarrow\infty}1/n = 0$이어야 한다.

(Definition) 만약 임의의 수 $M$에 대하여 자연수 $N$이 있어서 $n>N \Rightarrow a_n>M$을 만족한다면 수열 $\{a_n\}$은 "무한대로 발산한다"라고 한다. 이때 $a_n\rightarrow\infty$ 또는

로 표기한다. 만약 임의의 수 $m$에 대하여 자연수 $N$이 있어서 $n>N \Rightarrow a_n<m$을 만족한다면 수열 $\{a_n\}$은 "음의 무한대로 발산한다"라고 한다. 이때 $a_n\rightarrow-\infty$ 또는

로 표기한다.

(Lemma) 수열 $\{a_n\}$이 L에 수렴한다고 하자. 그러면 수열 $\{|a_n|\}$은 $|L|$에 수렴한다.

Proof) 수열 $\{a_n\}$이 $L$에 수렴하므로 임의의 $\varepsilon > 0$에 대하여 $n>N$일 때 $|a_n - L|<\varepsilon$을 만족하는 자연수 $N$이 언제나 존재한다. 그런데

이므로, $n>N$일 때 또한 언제나 $\left||a_n|-|L|\right| < \varepsilon$이 되어야 한다. 그러므로 $\{|a_n|\}$은 $|L|$에 수렴한다. ■

(Theorem) 실수 수열 $a_n$, $b_n$에 대하여$\lim_{n \rightarrow \infty} a_n = A$, $\lim_{n \rightarrow \infty} b_n = B$일 때, 다음이 성립한다:

(Theorem) 임의의 수열은 단 하나의 극한만을 가질 수 있다.

Proof) 만약 $\{a_n\}$이 두 개의 극한 $a$와 $b$를 갖는다고 하자. 정의에 의하여 임의의 $\varepsilon>0$에 대하여 $n\ge N$이면 $|a_n-a|<\varepsilon/2$이고 $|a_n-b|<\varepsilon/2$를 만족하는 자연수 $N$이 존재한다. 여기서 삼각 부등식을 이용하면, 다음

을 얻는다. 따라서 임의의 $\varepsilon>0$에 대하여 $|a-b|<\varepsilon$이므로 $a=b$이다. ■