이 글은 칸아카데미의 '선형대수학(Linear algebra)' 강의를 참고하여 작성하였습니다.
링크: Khan academy

Linear combinations and span

🌈 Linear combination이란?

선형 결합, 말 그대로 선형 직선들의 덧셈이다.

• $C_1$$V_1$ + $C_2$$V_2$ + $\dots$ + $C_n$$V_n$
• 스칼라값 c를 곱해준 벡터들의 합도 포괄하는 개념

🌈 Why do you have to add that "Linear" prefix?

3$\overrightarrow{a}$ - 2$\overrightarrow{b}$는 단순히 벡터들을 scaling up(=increase)하는 것이다. 곱하거나 제곱하거나 한다면 비선형적으로 바뀔 수 있으나, 결합(덧셈)하기만 하는 것은 선형성에 아무런 영향을 미치지 않기 때문에 "Linear"라는 prefix를 Combination 앞에 꼭 붙여주는 것이다.

🌈 Can any two vectors represent anything in $R^2$?

We can fill up any point in $R^2$ with the combinations of a and b.

눈치챘을 수도 있겠지만, $R^2$ 평면에 존재하는 모든 값들은 벡터 a와 벡터 b의 조합으로 표현이 가능하다.

여기서 Span이라는 개념이 나온다.

Span을 범위 또는 폭이라고 이해하면 된다.

Span($\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$) = $R^2$인 경우, $R^2$의 모든 값들을 벡터 a와 b가 표현할 수 있다.

✨그러나, 그렇지 않은 경우도 있음을 알고 있어야 한다.

$\overrightarrow{a}$=(2, 2), $\overrightarrow{b}$=(-2, -2)일 때,
아무리 scale up을 하더라도 오른쪽에 보이는 파란 직선 밖으로는 벗어날 수 없다.
즉, 아무 vector 2개를 골라 $R^2$의 모든 값을 표현한다는 것이 항상 가능하지는 않다는 이야기다.

0 벡터일 때도 마찬가지다.

• Span($\overrightarrow{0}$)=0이기 때문에 어떠한 scalar 값(c)이 와도 항상 0이 된다.
• $R^2$ 모든 값을 표현할 수 없다.

span($\overrightarrow{a}$)도 단순히 직선일 뿐.

c$\overrightarrow{a}$에서 c를 arbitrary한 값으로 지정할 때 아무리 직선에 스칼라 곱을 해준다고 해도 직선 밖으로는 벗어날 수 없다.

✨ Orthogonality?

• 기하학의 수직을 일반화한 용어
• 두 벡터의 내적이 0일 때, 다시 말해 이 둘이 직각을 이룰 때를 말한다.

정리하자면,

vector a, b spans $R^2$

= any vector in $R^2$ can be represented by a linear combination of $\overrightarrow{a}$ and $\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{X}$를 $R^2$에 있는 아무 값 ($x_1$, $x_2$)라고 할 때,
$c_1$, $c_2$가 무엇이든 간에 $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$가 위 이미지처럼 주어진다면 모든 값을 구할 수 있다.

연립 방정식을 통해 $c_1$, $c_2$을 구하면 된다.

🌈 정리

• span은 벡터들의 선형결합으로 만들 수 있는 모든 영역을 말한다.
• 단, 두 개의 벡터는 '선형 독립적'이어야 한다.
• 0벡터가 만들 수 있는 영역은 자기 자신 뿐이다.
• 벡터 하나로는 직선만 만들 수 있다.