[Linear algebra] Day 2. Vectors

Sun Ah Min·2022년 2월 3일
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Linear Algebra

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이 글은 칸아카데미의 '선형대수학(Linear algebra)' 강의를 참고하여 작성하였습니다.
링크: Khan academy

Unit vectors intro

Unit vector란?

: 단위 벡터, 길이가 1인 벡터이므로 각 차원의 수 만큼 존재한다.

Vector v를 v\overrightarrow{v} = (2, 3)라는 column vector로 표현할 수 있지만 v\overrightarrow{v} = 2i\overrightarrow{i} + 3j\overrightarrow{j}와 같은 식으로도 표현이 가능하다.

  • i\overrightarrow{i}는 가로축의 unit vector
  • j\overrightarrow{j}는 세로축의 unit vector

🍁 3차원에서는 k의 개념까지도 나온다.

b\overrightarrow{b} = -1i\overrightarrow{i} + 4j\overrightarrow{j}라고 할 때, v\overrightarrow{v} + b\overrightarrow{b}는 무엇일까?

v\overrightarrow{v} + b\overrightarrow{b} = (2 + (-1))i\overrightarrow{i} + (3 + 4)j\overrightarrow{j} = i\overrightarrow{i} + 7j\overrightarrow{j}이자 (1, 7) column vector로 표현할 수 있다.

Parametric representations of lines

v\overrightarrow{v}=(2, 1)로 주어졌을 때, 좌표평면에 주황색 직선처럼 표현할 수 있다.
집합 S는 Vector v에 실수값(스칼라)을 곱한 집합을 나타내며, 초록색 직선과 같이 표현할 수 있다.

  • Position vector: 좌표평면(R2R^2) 어디에든 그릴 수 있지만 집합 S의 기준이 되는 벡터를 말한다.
  • Collinear vector: Vector v에 스칼라 곱을 한 벡터. 여기서는 집합 S를 말한다.

🍁 사전적으로는 (점들이) 같은 직선에 놓여있다는 의미이다..

x\overrightarrow{x} = (2, 1)일 때,
집합 L은 집합 S에 x\overrightarrow{x}를 더한 것으로 집합 S와 평행한 기울기 1/2^1/_2의 직선이 그려진다.
중학교 때 배웠던 y=mx+by = mx + b로도 충분히 표현이 가능하지만,
L = { x\overrightarrow{x} + ttV\overrightarrow{V} | tRt \in R }로 표현하는 것이 더 좋다.

🍁 이런 표현식은 2차원 뿐만 아니라 더 많은 차원에서도 적용이 되는 "general"한 표현이기 때문이다.

a\overrightarrow{a}b\overrightarrow{b} 지나는 직선을 L이라고 하자.
물론 중학교 때 기울기를 구했던 방식으로 해서 L 직선의 방정식을 구할 수는 있으나, 그 대신에 b\overrightarrow{b} - a\overrightarrow{a}로 나타내 보고자 한다.

🍁 즉, vector a가 vector b로 가기 위해선 vector b - vector a를 하면 된다.

origin(0, 0)을 시작점으로 하는 b\overrightarrow{b} - a\overrightarrow{a}의 standard form에서 좌표에 나와있는 집합 또는 직선 L로 바꿔주기 위한 식은,

  • L = {b\overrightarrow{b} + t(t(b\overrightarrow{b}-a\overrightarrow{a}) | tRt \in R }
  • L = {a\overrightarrow{a} + t(t(b\overrightarrow{b}-a\overrightarrow{a}) | tRt \in R }

이렇게 두가지로 표현이 가능하다.

LiL_i = (L1L_1, L2L_2)에서 각각 L1L_1이 x-coordinate(좌표), L2L_2가 y-coordinate이면, Line의 parametric form으로 아래와 같이 표현할 수 있다.

  • x = 2t
  • y = 2t + 3

🍁 Line의 parametric definition을 표현하는 방법을 배워보았다.

3차원인 경우에 적용해보자.
3차원(R3R^3)에서 Line의 parametric equation들을 아래와 같이 표현할 수 있다.
x=1+1tx = -1 + -1t
y=2+1ty = 2 + -1t
z=7+3tz = 7 + 3t

  • 여기서 tt(매개변수)는 arbitrary한 실수값이다.
  • x+y+z=kx + y + z = k는 직선이 아니며 plane(평면)일 뿐이다.

🍁 3차원에서 그치는 것이 아닌 50차원 100차원까지도 확장이 가능하다.

물론 시각화하기는 어렵겠지만 수학적으로 다루는 것에 있어서는 아무런 문제가 없다.

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나는 커서 무려 내가 되겠지

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