Quaternions

Notation

• 회전을 표현할 때, 행렬 대신 사용하는 수학적 개념으로 4개의 값으로 이루어진 복소수 체계이다.

• $\mathbf{q}=\begin{bmatrix} q\\ \boldsymbol{q} \end{bmatrix}$ with $\boldsymbol{q} = \begin{bmatrix} q_1, q_2, q_3\end{bmatrix}^T$

• $\mathbf{q} = q+q_1i+q_2j+q_3k$
  ($i,j,k$는 허수)

• $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$

• 오일러 각의 짐벌락 현상을 해결하기 위해 세 축을 차례대로 회전하는 대신 동시에 회전시키는 방식을 사용한다.

Rotation at complex plane

• 단위원에서 30도 회전의 좌표는 $cos(30\degree)+sin(30\degree)i$
• $(cos(30\degree)+sin(30\degree)i)(4+1i)$를 계산하여 복소평면에서 $4+1i$를 30도 회전한 좌표를 구할 수 있다.

Caculation of Quaternions

Addition($\mathbf{p} = \mathbf{q}+\mathbf{r}$)

$\begin{bmatrix} p_0 \\ p_1\\p_2\\p_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} q_0+r_0\\q_1+r_1\\q_2+r_2\\q_3+r_3\\ \end{bmatrix}$

Multiplication($\mathbf{p} = \mathbf{q}\mathbf{r}$)

$\begin{bmatrix} p_0 \\ p_1\\p_2\\p_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} q_0r_0-q_1r_1-q_2r_2-q_3r_3\\q_1r_0+q_0r_1-q_3r_2+q_2r_3\\q_2r_0+q_3r_1+q_0r_2-q_1r_3\\q_3r_0-q_2r_1+q_1r_2+q_0r_3\\ \end{bmatrix}$

• 교환법칙이 성립되지 않는다

Inverse

$\mathbf{q}=\frac{\mathbf{q}^*}{|\mathbf{q}|^2}$

• $\mathbf{q}^* = \begin{bmatrix} q\\-\boldsymbol{q}\end{bmatrix}$
• $|\mathbf{q}|^2=q_0^2+q_1^2+q_2^2+q_3^2$

Rotation of Quaternions

$\mathbf{p}' = \mathbf{q}\mathbf{p}\mathbf{q}^{-1}$

• $\mathbf{q}=\begin{bmatrix} q\\ \boldsymbol{q}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos(\theta/2) \\ sin(\theta/2)\boldsymbol{r}\end{bmatrix}$
• $\boldsymbol{r}=\begin{bmatrix}r_1, r_2, r_3\end{bmatrix}^T$ with $||\boldsymbol{r}||=1$
• 정규화된 회전축 $\boldsymbol{r}$을 중심으로 $\theta$만큼 회전

Composition

• $\mathbf{p}'=\mathbf{q}'\mathbf{p}\mathbf{q}'^{-1}$
• $\mathbf{p}''=\mathbf{q}''\mathbf{p}'\mathbf{q}''^{-1}$
• $\mathbf{p}''=\mathbf{q}''\mathbf{q}'\mathbf{p}\mathbf{q}'^{-1}\mathbf{q}''^{-1}$
  $\space\space\space\space\space=(\mathbf{q}''\mathbf{q}')\mathbf{p}(\mathbf{q}'^{-1}\mathbf{q}''^{-1})$
  $\space\space\space\space\space=\mathbf{q}\mathbf{p}\mathbf{q}^{-1}$
• $\mathbf{q'}$ 회전 후 $\mathbf{q}''$ 회전을 하는 것은 multiplication 연산을 통해 $\mathbf{q}$ 회전으로 표현할 수 있다.
  $\mathbf{q}=\mathbf{q}''\mathbf{q}'$

Materials

• Quaternion
  https://www.youtube.com/watch?v=zjMuIxRvygQ&t=105s
  https://www.youtube.com/watch?v=YXGUGSAv09A&t=3664s

Reference

• https://showmiso.tistory.com/57