3D Geometry Study_Week2(Homogeneous coordinate)

kimkj38·2022년 2월 16일
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3D Vision

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Vector space

  • Vector space에서의 값은 원점에서 뻗어나가는 방향을 의미하며 선형성(linearity)을 지닌다.
  • 벡터의 위치와 관계없이 크기와 방향이 같다면 모두 같은 벡터로 인식되기 때문에 위치가 중요한 경우를 표현할 수 없다.
  • Translation은 scale, rotation, shear과는 달리 vector space 내에서 transformation matrix를 정의할 수 없다
  • 이를 해결하고자 차원을 추가하였고 Affine space, homogeneous coordinate가 탄생한다.

Affine space

  • 위치 정보를 표현하기 위해 Affine space에서는 벡터에 점(Point)를 더해준다.
  • (a,b,0)(a,b,0)와 같이 마지막 값이 0인 경우는 vector, (a,b,1)(a,b,1)과 같이 1인 경우는 point를 표현하는 것이 된다.

Affine sapce의 특징

  • Affine space에 속한 모든 점 PP에 대해서P+0=P+0=PP+\vec{0} = P+\vec{0} = P이다. 즉, 영벡터는 벡터 공간의 항등원이다.
  • Affine space에 속한 모든 점 PP와 Vector space에 속한 모든 vector v,wv,w에 대해서 P+(v+w)=(P+v)+wP+(v+w) = (P+v)+w가 성립한다. 즉, 결합법칙이 성립한다.
  • Affine space에 속한 점 P,QP,Q가 있을 때, 두 점을 연결하는 vector는 단 하나이다

Tlanslation in Affine space


Affine space에서는 translation도 행렬로 표현할 수 있다.

Homogeneous coordinate

  • 카메라의 ray는 무한대로 뻗어나가기 때문에 P+αP+\alpha로 표현
  • 이를 전부 표현하기 위해 homogeneous 좌표계에서 (x,y)(x,y)(wx,wy,w)(wx,wy,w)로 표기되어 scale을 무시하고 무한하게 존재하게 된다.
  • 역으로 homogeneous 좌표에서 원래의 좌표를 구하기 위해서는 ww로 나눠주면 된다.
  • Homogeneous 좌표는 projection 좌표라고도 부르며 ray 상의 모든 좌표들은 하나의 평면에 투영시켜 표현할 수 있다는 점에서 의미가 있다.
  • 3D 공간의 물체를 2D로 사영시킬 때 길이, 각도, 평행성은 보존되지 못한다.

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Reference

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