Conics and Dual Conics

• Conic(원뿔)은 plane에서 2차 방정식으로 나타낼 수 있는 curve를 의미하며 그 유형으로 hyperbola(쌍곡선), ellipse(타원), parabola(포물선)이 존재한다.
• 이 유형들은 다른 orientation을 가지는 plane에 의해 만들어진다.

  • 원뿔의 사선에 접하는 plane은 parabola를 만든다.
  • 원뿔의 base에 접하는 plane은 circle을 만들고 회전시키면 ellipse를 만든다.
  • 수직 방향은 plane은 hyperbola를 만든다.

• Conic의 방정식은 inhomogeneous coordinate에서 다음과 같다.
  $ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$
• $x \rightarrow \cfrac{x_1}{x_3}, y \rightarrow \cfrac{x_2}{x_3}$를 통해 homogeneous coordinate으로 바꾸면 다음과 같다.
  $ax_1 {}^2+bx_1x_2+cx_2{}^2+dx_1x_3+ex_2x_3+fx_3{}^2=0$
• 행렬로 나타내면 $\mathbf{x^TCx=0}$이 되며 $\mathbf{C}$는 symmetric하며 conic의 homogeneous representation이라 할 수 있다.
  $\mathrm{C}=\left[\begin{array}{ccc} a & b / 2 & d / 2 \\ b / 2 & c & e / 2 \\ d / 2 & e / 2 & f \end{array}\right]$
• Scale은 무시되며 6개의 변수의 비만 생각하면 되므로 5DoF이다.

Five Points Define a Conic

• 각 point $\mathbf{x}_i=(x_i, y_i)$는 conic coefficient에 하나의 constraint를 준다.
  $ax_i{}^2+bx_iy_i+cy_i{}^2+dx_i+ey_i+f=0$
  $\rightarrow (x_i{}^2 \space x_iy_i \space y_i{}^2 \space x_i \space y_i \space 1)\mathbf{c}=0$, $\mathbf{c}=(a,b,c,d,e,f)^T$
• 5개의 point가 주어진다면 conic은 5x6 행렬의 null vector가 된다.
  $\left[\begin{array}{cccccc} x_1^2 & x_1 y_1 & y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2 & x_2 y_2 & y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 & x_3 y_3 & y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\ x_4^2 & x_4 y_4 & y_4^2 & x_4 & y_4 & 1 \\ x_5^2 & x_5 y_5 & y_5^2 & x_5 & y_5 & 1 \end{array}\right] \mathbf{c}=\mathbf{0}$

Conics and Dual Conics

• Conic $C$ 상의 point $\mathbf{x}$에서의 접선 $\mathbf{l}$은 $\mathbf{l}=C \mathbf{x}$이다.
  (증명) $\mathbf{l^Tx=x^T}C\mathbf{x}=0$이므로 $\mathbf{l^T=x^T}C$이고 따라서 $\mathbf{l}=C\mathbf{x}$이다.

• 위 설명들은 엄밀히 말하면 점들에 대한 방정식으로 정의한 point conic이라 할 수 있으며 선에 대한 방정식으로 정의한 dual(line) conic도 존재한다.
  $\rightarrow$ 3x3 행렬 $C^*$로 표기한다.

• Conic $C$의 접선 $\mathbf{l}$은 $\mathbf{l}^TC^*\mathbf{l}=0$을 만족하며 5개의 line을 알면 계산할 수 있다.(5DoF)

• Non-singular symmetric 행렬 $C^*=C^{-1}$을 만족한다.
  (증명) $\mathbf{l}=C \mathbf{x}$이므로 $\mathbf{x}=C^{-1}\mathbf{l}$로 변형 가능하고 따라서 $C^*=C^{-1}$가 된다.

• 또한, $\mathbf{x}^TC\mathbf{x}=0$이므로 $(C^{-1}\mathbf{l})^TC(C^{-1}\mathbf{l})=\mathbf{l}^TC^{-1}\mathbf{l}=0$로부터 $\mathbf{l}^TC^*\mathbf{l}=0$을 도출할 수 있다.
  

• Dual conics는 conic envelopes라 부르기도 한다.

  Degenerate Conics

  
  

• $\mathbf{l}$이 다른 point $\mathbf{y}$에서 conic을 만난다고 가정하면 $\mathbf{y}^TC\mathbf{y}=0, \mathbf{x}^TC\mathbf{y}=\mathbf{l^Ty=0}$이 된다.

• 이 때 모든 $\alpha$에 대해 $(\mathbf{x+\alpha y)^T}C\mathbf{(x+\alpha y)}=0$을 만족한다.

• 이는 $\mathbf{x,y}$를 지나는 모든 line이 conic $C$ 상에 존재한다는 의미가 되므로 세 유형에 전부 속하지 않는 degenerate conics가 된다.

• Degenerate conics의 rank는 full rank가 아니어서 2개의 line과 반복되는 line을 포함한다.

Planar Projective Transformations

• Projectivity는 $\mathbb{P}^2 \rightarrow \mathbb{P}^2$인 Invertible mapping으로 homography라고도 부른다.
• $\mathbb{P}^2$ 상의 동일한 line 위에 있는 세 점 $\mathbf{x_1, x_2, x_3}$에 대해 맵핑한 $h(\mathbf{x_1}), h(\mathbf{x_2}), h(\mathbf{x_3})$도 동일한 line 위에 위치하게 된다.(collinearity)
• Non-singular 3x3 matrix $H$로 나타낼 수 있다.
  $h(x)=H\mathbf{x}$
• 행렬 요소들의 ratio만이 중요하기 때문에 homogeneous matrix이며 8DoF이다.
• Transformed plane에 투영한다고 볼 수 있다.

Transformations of Lines and Conics

• Line 상의 point들에 projective transformation을 적용했을 때 여전히 하나의 line 위에 존재하므로 $l'=H^{-T}l$로 표현할 수 있다.
• Conic $C$의 transform은 $C'=H^{-T}CH^{-1}$로 dual conic $C^*$의 transform은 $C^{*'}=HC^*H^T$로 표현할 수 있다.

Hierarchy of Transformations:Isometries

• Isometries란 euclidean distance를 유지하는 $\mathbb{R}^2$ 상에서의 transformation으로 2개의 plane이 평행하다.
• Length, angle, area에 대해 invariant 하다.
• 3DoF($\theta, t_x, t_y)$

Hierarchy of Transformations:Similarity

• $x,y$에 동일하게 scaling을 적용하는 isotropic scaling이 들어간 isometry라고 볼 수 있다.
• Angles, ratio of two lengths, ratio of areas에 invariant하다.
• 4DoF($\theta, t_x, t_y, s)$

Hierarchy of Transformations:Affinity

• Translation에 non-singular linear transformation 적용
• Parallel lines, ratio of lengths of parallel line segments, ratio of areas에 invariant하다.
• 6DoF$(a_{11},a_{12}, a_{21}, a_{22}, t_x, t_y)$
• Affine matrix $A$는 SVD에 의해 항상 아래와 같이 분해된다. $R$은 rotation, D는 diagonal matrix를 의미하며 $U,V$는 orthogonal matix다.
  $A=UDV^T=(UV^T)(VDV^T)=R(\theta)(R(-\phi)DR(\phi))$

Hierarchy of Transformations:Projective

• Non-singular linear transformation
• $v$가 0일 수 있기 때문에 항상 scale이 가능하지는 않다.
• 두 plane의 4개의 point correspondence로부터 행렬식을 구할 수 있다.
• Order of contact, tangency, cross ratio에 invariant하다.
• 8DoF

Decomposition of a Projective Transformation

• Projective transformation은 similarity, affine, projective로 분해될 수 있다.

Reference

• https://www.youtube.com/watch?v=gQ7IUS8NKCI&list=PLxg0CGqViygP47ERvqHw_v7FVnUovJeaz&index=2&t=253s