[CV] Fundamentals of Signal Processing(2) - Fourier Transform

Yeontachi·2025년 7월 31일
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우리가 흔히 접하는 신호(소리, 영상, 센서 데이터)는 시간이나 공간에 따라 변화하는 함수이다. 이러한 신호를 분석하는 전통적인 방법 중 하나는 Taylor 급수이다. Taylor 급수는 함수를 다항식으로 근사하는 방식이지만, 다항식은 주기적이거나 진동하는 신호를 표현하는 데 비효율적이라는 문제점이 있다.

많은 신호는 시간에 따라 진동하거나 특정 주파수 성분을 가진다. 예를 들어, 영상은 고주파(경계)와 저주파(평탄 영역) 성분을 모두 포함한다. 우리가 알고 싶은 것은 단순히 값이 아니라, 이 신호가 어떤 주파수로 이루어져 있는가이다.

이를 위해 신호를 시간 영역(Time Domain) 대신 주파수 영역(Frequency Domain)에서 분석하는 방법이 필요하다. 이때 등장하는 것이 푸리에 변환(Fourier Transform)이다.

Fourier Transform 아이디어

푸리에 변환은 신호를 사인파(sin)와 코사인파(cos), 즉 진동 성분의 조합으로 표현하는 방법이다.

이는 Joseph Furier가 제안한 아이디어로, 임의의 신호는 다양한 주파수의 사인/코사인 함수들의 합으로 표현할 수 있다는 사실에 기반한다.

즉, 원래 신호 f(x)f(x)는 시간이나 공간을 변수로 하지만, 푸리에 변환을 통해 주파수 ωω를 변수로 하는 F(ω)F(ω)로 바뀐다.

Fourier Series
복잡한 파형(또는 신호)을 여러 개의 사인파로 합성할 수 있다.


복잡한 주기 신호(원래 신호)를 서로 다른 주파수를 가진 사인파들의 합으로 표현이 가능하다.

또한 아래 처럼 여러 개의 사인파를 점점 더 많이 추가하면 즉, 처음에는 저주파 성분으로 시작하다가 점점 더 많은 고주파 성분을 추가하면 직사각형 모양의 주기 신호에 가까워진다.

즉 사각파는 무한 개의 사인파의 합으로 표현이 가능하며, 각 사인파의 진폭은 주파수의 역수(1/k)로 점점 작아진다.

위 막대그래프는 각 주파수의 성분의 크기(스펙트럼)을 나타내며, 저주파일수록 크고, 고주파일수록 작다.

즉, 푸리에 급수(Fourier Series)는 모든 주기 함수는 적절한 주파수 성분(사인/코사인)의 선형 결합으로 표현이 가능하며, 이미지 처리에서 엣지 검출이 고주파 분석과 관련있는 이유 또한 푸리에 급수로 설명이 가능하다.(사각파처럼 날카로운 신호는 고주파 성분이 많다.)

Fourier Transform

F(u)=∫−∞∞f(x) e−i2πux dxF(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\, e^{-i 2 \pi u x} \, dx
  • f(x)f(x) : 원래 신호(시간 혹은 공간 영역)
  • F(u)F(u) : 주파수 영역에서의 신호 표현(스펙트럼)
  • e−i2πuxe^{-i 2 \pi u x} : 기저 함수(basis function)
    복소 지수함수로, 실제로는 사인(sin)과 코사인(cos)의 조합이다.
    eik=cos⁡k+isin⁡k,i=−1e^{ik} = \cos k + i \sin k, \quad i = \sqrt{-1}
  • 적분 범위: −∞ ∞-\infty ~ \infty 모든 x 구간의 신호를 고려

시간 도메인의 신호 f(t)f(t)가 길게 지속되면, 그에 대응하는 주파수 도메인 표현 F(u)F(u)은 좁고 예리한 주파수 스펙트럼을 가지게 된다. 이는 신호가 오랫동안 변화 없이 유지되었음을 의미하며, 결국 소수의 주파수 성분만을 포함하고 있다는 의미이다.

반대로, 시간 영역에서의 신호가 짧게 집중되어 있을 경우, 즉 순간적으로 강한 변화를 갖는 경우에는 F(u)F(u)가 넓고 퍼진 스펙트럼으로 나타난다. 이는 다양한 주파수 성분이 혼합되어 있음을 의미한다.

이러한 시간-주파수 간의 관계를 수학적으로 분석하기 위한 핵심 도구가 Fourier Transform이다. Fourier Transform은 신호를 시간(또는 공간) 영역에서 주파수 영역으로 변환함으로써, "이 신호는 어떤 주파수 성분을 얼마나 포함하고 있는 가?"라는 질문에 답할 수 있게 해준다.

예를 들어, 함수 f(x)f(x)가 한 흑백 이미지에서의 공간 도메인 상의 밝기 값(pixel intensity)을 나타낸다면, 이 함수에 대한 푸리에 변환 F(u)F(u)는 그 이미지의 주파수 성분을 의미하게 된다. 이때, 평탄하고 부드러운 영역은 저주파(low frequency)에 해당하고, 에지(edge)나 급격한 변화는 고주파(high frequency) 성분으로 나타낸다.

즉, Fourier Transform은 우리가 보거나 측정한 신호가 시간이나 공간에서 어떻게 분포되어 있는지를 넘어서, 그 속에 숨겨진 주파수 구조를 밝혀주는 분석 도구라 할 수 있다.

Inverse Fourier Transform 역변환

f(x)=12π∫−∞∞F(u) eiux duf(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(u)\, e^{i u x} \, du

역변환은 주파수 영역의 정보를 다시 시간(공간) 영역으로 변환하는 것이다. 즉, F(u)F(u)가 있으면 원래 신호 f(x)f(x)를 복원 가능하다. 이 변환은 완전 가역으로 이론적으로 손실이 없다.

Discrete Fourier Transform(DFT)

1. Continuous Signal (연속 신호)

  • Fourier Transform

    F(u)=∫−∞∞f(x)e−j2πux dxF(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-j2\pi ux} \, dx

  • Inverse Fourier Transform

    f(x)=∫−∞∞F(u)ej2πux duf(x) = \int_{-\infty}^{\infty} F(u) e^{j2\pi ux} \, du

2. Discrete Signal (이산 신호)

  • Fourier Transform (DFT)

    F(u)=1M∑x=0M−1f(x)e−j2πux/Mfor u=0,…,M−1F(u) = \frac{1}{M} \sum_{x=0}^{M-1} f(x) e^{-j2\pi ux / M} \quad \text{for } u = 0, \dots, M-1

  • Inverse Fourier Transform

    f(x)=∑u=0M−1F(u)ej2πux/Mfor x=0,…,M−1f(x) = \sum_{u=0}^{M-1} F(u) e^{j2\pi ux / M} \quad \text{for } x = 0, \dots, M-1

Discrete Fourier Transform(DFT)은 유한 개의 데이터를 처리한다.

이때 변환 결과가 지나치게 커지거나 낮아지지 않도록, 그리고 역변환을 통해 정확히 원본으로 복원할 수 있도록 정규화 계수가 필요하다.(1\M이 곱해지는 이유)

1/M은 DFT에서 에너지 보존과 정확한 역변환 복원을 위해 필요하다. 수학적으로도, 직관적으로 평균을 구한다는 의미도 내포되어 있다. 사용하는 정규화 방식은 구현에 따라 다르며, 위 방식은 정방향만 정규화하는 가장 단순한 형태이다.

Convolution Theorem(컨볼루션과 푸리에 변환의 관계)

공간 도메인(Spatial Domain)에서의 컨볼루션 연산은 주파수 도메인(Frequency Domain)에서의 곱셈으로 바뀐다.

g(x)=(f∗h)(x)   ⟷   G(u)=F(u)⋅H(u)g(x) = (f∗h)(x) \,\,\,⟷\,\,\, G(u) = F(u)⋅H(u)

이것을 컨볼루션 정리(Convolution Theorem)라고 부른다.

컨볼루션의 푸리에 변환 유도

g=f∗hg = f ∗ h
(1) 푸리에 변환 정의 적용

G(u)=∫−∞∞g(x)e−i2πuxdxG(u) = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) e^{-i 2 \pi u x} dx

여기서 g(x)=∫f(τ)h(x−τ)dτg(x) = \int f(\tau) h(x-\tau) d\tau (컨볼루션 정의)

(2) 두 적분을 합함

G(u)=∫−∞∞∫−∞∞f(τ)h(x−τ)e−i2πuxdτdxG(u) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) h(x-\tau) e^{-i 2 \pi u x} d\tau dx

(3) 변수 치환 후, 적분을 분리

=[∫f(τ)e−i2πuτdτ]⋅[∫h(x′)e−i2πux′dx′]= \left[ \int f(\tau) e^{-i 2 \pi u \tau} d\tau \right] \cdot \left[ \int h(x') e^{-i 2 \pi u x'} dx' \right]

(4) 결과

G(u)=F(u)⋅H(u)G(u) = F(u) \cdot H(u)

즉, 컨볼루션의 푸리에 변환 = 두 신호의 푸리에 변환의 곱이 증명되었다.

그리하여, Fourier Transform을 이용해 g(x)를 찾을 수 있다.

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