[CV] Fundamentals of Signal Processing(3) - Sampling Theorem

현실의 신호는 연속적인 아날로그 신호이다. 이를 디지털로 처리하려면 일정한 시간 간격으로 값을 뽑아내는 샘플링(Sampling) 과정이 필요하다.

문제는, 샘플링 속도가 너무 낮으면 원래 신호를 복원할 수 없는 왜곡(엘리어싱, Aliasing)이 발생한다.
따라서, 어떤 샘플링 주파수를 사용해야 정보 손실이 없는가?에 대한 질문에 답하는 것이 바로 샘플링 정리(Sampling Theorem)이다.

샘플링 속도가 낮으면 발생하는 현상

샘플링 속도가 낮으면 주파수 영역에서 스펙트럼 복제본들이 겹치는 현상이 발생한다. 이때 이 겹침이 바로 에일리어싱(Aliasing)이다.

실제 실험 결과로 살펴보자면
(출처: http://www.ee.ic.ac.uk/pcheung/teaching/ee2_signals/Lecture%2013%20-%20Sampling%20&%20discrete%20signals.pdf)

아래 이미지처럼 신호를 5Hz 이하로 제한된 신호라 가정해보자.

나이퀴스트(Nyquist) 속도 10Hz는 완벽한 복원이 가능하다.

10Hz보다 높은 속도인 20Hz의 경우 복원이 더 쉬우며, 여유 대역까지 확보함을 확인할 수 있다.

나이퀴스트보다 낮은 속도(5Hz)의 경우 아래 그림의 오른쪽 그래프를 보면, 원래 신호의 스펙트럼이 샘플링 주파수 간격으로 복제되는데, 간격이 좁아 복제본이 겹쳐 왜곡(에일리어싱, Aliasing)이 발생한 것을 볼 수 있다.(원래 신호 복원 불가)

샘플링 정리(Sampling Theorem)

원 신호 $x(t)$는 대역제한(Band-limited) 신호라고 가정한다. (주파수 스펙트럼 $X(ω)$는 $-B ~ B$ 범위에만 존재)

샘플링 과정
시간 영역에서 $x(t)$와 임펄스 열(Impulse Train)을 곱한다.

여기서 $T_s$는 샘플 간격, $f_s = 1/T_s$는 샘플링 주파수이다.

결과
시간 영역 곱셈 -> 주파수 영역에서는 컨볼루션 발생
즉, 원래 스펙트럼 $X(ω)$가 샘플링 주파수 $ω_s = 2\pi / T_s$ 간격으로 복제된다.

따라서 원래 신호 $x(t)$를 복원하기 위해서는, 샘플링된 스펙트럼에 이상적인 저역통과 필터(ideal low-pass filter)를 적용하면된다. 저역통과 필터를 사용하게 되면 중앙의 원래 스펙트럼 부분만 통과시키고 나머지 복제본을 제거하게된다.

샘플링 후 주파수 스펙트럼

즉, 샘플링은 스펙트럼을 주기적으로 반복시키는 과정이다.

문제: 복제본이 겹치면? (에일리어싱)

• 샘플링 속도가 너무 낮으면 스펙트럼 복제본이 서로 겹쳐서 왜곡 발생.
• 겹침을 방지하려면:

이것이 바로 나이퀴스트 샘플링 조건(Nyquist Condition)이다.

수학적 접근

샘플링된 신호는:

임펄스 열의 푸리에 급수 표현:

따라서:

주파수 영역에서는:

원 신호 복원

샘플링된 스펙트럼은 $\omega_s$ 간격으로 복제된다.
복원 방법:

• 저역통과 필터(Low-Pass Filter)를 사용하여 중앙 원본 대역만 통과
• 단, 복제본이 겹치지 않을 때만 가능
  → 즉, 샘플링 주파수가 충분히 커야 함.