SLAM의 수학적 공식화

이 글은 Introduction to Visual SLAM: From Theory to Practice의 내용을 토대로 작성하였습니다.

https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-16-4939-4

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모션 모델 $x_k = f(x_{k-1}, u_k, w_k)$

• $x_k$ : 현재 위치
  • $x_k = [x_1, x_2, \theta]^T _k$
• $x_{k-1}$ : 이전 위치
• $u_k$ : 위치와 회전 각도의 변화
  • $u_k = [\triangle x_1, \triangle x_2, \triangle \theta ]^T_k$
• $w_k$ : 노이즈 (스토캐스틱)

$\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \theta \end{bmatrix}_k = \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \theta \end{bmatrix} _{k-1} + \begin{bmatrix}\triangle x_1 \\ \triangle x_2 \\ \triangle \theta \end{bmatrix} _k + w_k$

관찰 모델 $z_{k, j} = h(y_j, x_k, v_{k, j})$

• $y_j$ : 랜드마크 위치
  • $y_j = [y_1, y_2]^T _j$
• $x_k$ : 위치
  • $x_k = [x_1, x_2]^T_k$
• $z_{k, j}$ : 센서 판독값, 관찰한 데이터
  • $z_{k, j} = [r_{k, j}, \phi_{k, j}]^T$

$\begin{bmatrix}r_{k, j} \\ \phi_{k, j}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\sqrt{(y_{1,j}-x_{1,k})^2 + (y_{2,j}-x_{2,k})^2} \\arctan(\frac{y_{2,j} - x_{2,k}}{y_{1,j}-x_{1,k}}) \end{bmatrix} + v$

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일반 추상 형식을 취했을 때 SLAM 프로세스를 기본 방정식으로 요약하면,

$\begin{cases}x_k = f(x_{k-1}, u_k, w_k), & k=1, ..., k\\z_{k,j} = h(y_j, x_k, v_{k,j}), & (k,j) \in O \end{cases}$

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상태 추정 문제로서의 SLAM

• 모션 모델 방정식

• 관찰 모델 방정식

• 모델 방정식

  • 선형
  • 비선형

• 노이즈

  • 가우시안
  • 비가우시안

선형 가우시안: 칼만 필터(KF)로 편향 없는 최적 추정값 얻음
비선형 비가우시안: 확장칼만필터(EKF)와 비선형 최적화 방법 사용

• 21세기 초까지 EKF가 지배적
• EKF의 단점(선형화 오류 및 노이즈 가우스 분포 가정) $\rarr$ 입자필터와 같은 다른 필터, 비선형 최적화 방법 사용
• 오늘날엔 graph optimization이 대표적 상태 추정 기술이며 필터보다 우수하다 판단됨