출처:
Ray Tracing in One Weekend - Adding a Sphere
Github - GaepoMorningEagles/mini_raytracing_in_c

---

Sphere

---

Description

레이트레이서에 단일 객체를 추가해 보겠다. 광선이 구와 만나는지를 계산하는 것은 비교적 간단하기 때문에 먼저 구를 나타내는 실습을 하겠다.

---

Ray-Sphere Intersection

반지름이 $r$ 이고 점 $\bold{C}(C_x, C_y, C_z)$를 중심으로 하는 구의 방정식은 $(x - C_x)^2 + (y - C_y)^2 + (z - C_z)^2 = r^2$ 이다.
구 위에 존재하는 어떤 점 $\bold P$에 대해 구의 중심 $\bold C$에서 점 $\bold P$로 향하는 벡터를 만들어 위의 식을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

이제 이 구의 방정식을 벡터를 이용한 구의 방정식으로 다시 쓸 수 있다.

우리는 "이 방정식을 만족하는 모든 점 $\bold P$가 구 위에 존재한다."고 할 수 있다.
이제 어떤 광선의 방정식 $\bold{P}(t) = \bold{A} + t\bold{b}$에서 어떤 점 $\bold P$가 구 위에 존재한다는 것을 알고자 한다면, 이 광선의 방정식을 위의 식에 대입하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

위의 식은 미지수가 $t$인 2차 방정식이므로 $t$에 대해 풀 수 있다. 판별식을 구해서 판별식이 0보다 작으면 만나지 않는 것이고, 0이면 한 점에서 만나며(접함), 0보다 크면 두 점에서 만나는 것이다.

---

Create Raytraced Image

구의 중심, 반지름을 담고 있는 구조체를 만들고 주어지는 값을 넣어서 초기화해준다. 그리고 광선과 구가 만나는지를 검사하는 함수를 만든다. 위에서 $t$에 대해 정리한 2차 방정식을 이용하면 된다. $ax^2 + bx + c = 0$에서 각 $a$, $b$, $c$에 대응되는 값을 구한다. double형 변수 a, b,c를 선언해서 대응되는 값을 계산해 넣어준다. 그리고 판별식을 구해서 그 값이 0보다 큰지 여부를 반환해준다.
코드에서 반환값이 0보다 크면 TRUE가 반환되어 그 때에 빨간색 원이 생기게 해주었다.
Ray Tracing in One Weekend에서는 빨간색 원이 나타나게 했는데 일본 같아서 색을 바꿨다. 갑자기 불타오르는 애국심🔥
(결과가 제대로 나오면, 위치나 색상을 바꿔보면서 어떻게 나오는지 확인해 보는 것도 재밌다.)

--

Result Image