[딥러닝] Layer Collaboration in the Forward-Forward Algorithm

Ethan·2023년 9월 13일

DL Forward-Forward ff

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Preprint on ArXiv

요약

Original FF의 네트워크 구조를 엔트로피 관점에서 분석
- FF는 레이어 간 소통이 원활하지 않아 정보량이 한정됨 (overfitting 위험 증가)
- Representation의 diversity와 confidence간 trade off가 존재

$\theta, \sigma$ 등 불필요한 모듈 제거 $\rightarrow$ goodness function 경량화
- 경량화 후에도 기존과 비슷한 성능을 보임

What's new & work importance

Hinton이 발표한 Forward-Forward algorithm (FF)은 backpropagation의 대체재로 새롭게 제시된 학습 방법입니다. 모듈(레이어) 단위로 최적화를 진행하기 때문에 선행 레이어에 대한 의존성 문제가 없고, feed forward network만으로 최적화가 가능하다는 장점이 있지만, 반대로 성능적 측면에서 아직 오차역전파보다 부족하고 레이어 수에 따라서는 오히려 메모리를 더 많이 사용할 수도 있습니다. 게다가 레이어 자체적으로 학습의 완결성을 가지기 때문에 다른 레이어들과 정보 교환(layer collaboration)이 원활하지 않다는 문제가 있습니다.

Original FF는 goodness라는 개념을 도입해서 각각의 레이어 최적화 정도를 판단하는데, 예를 들어 input data $x$ 에 대해 네트워크를 구성하는 $n$ 개의 레이어를 $f_{1:n}$ 라고 한다면 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

p(\text{positive})=\left({1+e^{-(\sum _j^nf_j(x)^2-\theta)}}\right)^{-1}\qquad(1)

여기서 식 (1)의 $\theta$ 에 regularization 항을 추가하여 모델의 학습 방향을 개선시킨 것이 본 논문의 주된 contribution 중 하나입니다. 사실 그렇게 outstanding한 contribution은 아니지만, 이와 별개로 모델 분석 관점에서 insight를 주는 논문이기에 한번쯤 가볍게 읽어보면 좋을 것 같습니다.

Methodology보다는 네트워크 내부를 분석한 내용이 흥미로운데, 실험에 따르면 original FF는 여러 레이어를 거치면서 모델 내부의 functional entropy가 증가하는 경향이 있다고 합니다. 이는 모델이 학습한 representation의 uncertainty가 늘어나는 것과 같지만 동시에 diversity가 증가한다고도 해석할 수 있습니다.

아무튼 이러한 관점에서 entropy based optimization을 시도하기도 했는데 기존의 optimization과 큰 차이는 없었다고 합니다.

Background

레이어 간 정보 교환에 대한 문제는 original FF 논문에서도 간접적으로 언급된 바 있습니다. 다만 이번 논문에 따르면 original FF는 오히려 이러한 레이어 간 협업(layer collaboration)에 상당히 불리한 구조인 것처럼 보입니다. 본 논문에서 제안하는 Collaborative Forward-Forward 알고리즘은 이러한 약점을 개선한 모델입니다.

Model architecture

Discriminative learning은 training data $x\in\mathcal{X}$ 에 대해 label $y\in\mathcal{Y}$ 를 매핑하는 방법을 학습합니다. 그리고 Classic DNN은 기본적으로 각 레이어가 선행 레이어의 출력을 받는 recursive 구조로 되어 있죠. 따라서 $k$ 개의 FC layers를 가진 모델 $f$ 는 다음과 같이 sub network들로 이루어져 있다고 할 수 있습니다.

f_{1:k}(x)\overset{\Delta}{=}(f_k\circ...\circ f_1)(x)

오차역전파는 layer의 파라미터 $w$ 에 대해 SGD를 사용하여 업데이트를 진행합니다. 수식으로 나타내면 다음과 같습니다.

\min_w L(f_{1:k},x,y),\\ \quad\\ \Delta w_i=-\eta{\partial L(f_{1:k},x,y)\over\partial w_i}=-\eta{\partial L(f_{1:k},x,y)\over\partial f_{1:k}(x)}\cdot...\cdot{\partial f_{1:i+1}(x)\over\partial f_{1:i}(x)}{\partial f_{1:i}(x)\over\partial w_i}

오차역전파에 대한 설명은 이 글을 참고하세요.

Forward-Forward Algorithm

Forward-forward 알고리즘의 메인 아이디어는 네트워크가 positive sample에 대해 더 잘 흥분(excited)하고, negative sample에 대해서는 덜 흥분하도록 하는 것입니다. Contrastive Learning의 일종이라고 볼 수 있습니다.

ReLU를 사용하는 layer $i$ 에 대해 주어진 sample $(x,y)$ 가 positive일 확률은 다음과 같습니다.

p_i(\text{positive)}\overset{\Delta}{=}\left(1+e^{-(||(f_{1:i}(x,y)||^2-\theta)}\right)^{-1}\qquad(2)

파라미터 $w_i$ 의 gradient는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\Delta w_i={\partial((1+e^{-(||(f_{1:i}(x,y)||^2-\theta)})^{-1})\over\partial w_i}

이 때 식 (2)를 Layer loss라고 부릅니다.

기본적으로 Forward-forward 알고리즘은 layer 단위로 최적화를 완료할 수 있습니다. 다시 말해서 레이어 자체의 objective function은 미분가능해야 하지만, 레이어 간의 연결은 미분가능할 필요가 없습니다[1][2]. 모든 $(x,y)$ pair에 대해 점수를 매긴다는 점에서 Lecun의 Energy based model과도 비슷하다고 합니다.

Layer collaboration

Forward-forward 알고리즘은 오직 forward pass로만 정보를 전달합니다. 왼쪽 그래프를 보면 앞쪽 레이어는 뒤쪽 레이어들에게서 정보를 받지 못하고 있습니다. 반면 오른쪽 오차역전파 그래프를 보면 선행 레이어들도 후행 레이어들에게서 정보를 넘겨받을 수 있습니다.

FF 알고리즘의 inference는 각 레이어의 goodness를 합산하는 식으로 이루어집니다. 개별 레이어가 하나의 네트워크라고 보면 여러 네트워크의 판단을 총합하여 주어진 $x$ 에 대해 가장 적합한 $y$ 를 voting하는 방식이라고 할 수 있습니다.

위 그림은 레이어 조합에 따른 모델의 성능을 비교한 그래프입니다. 앞쪽 레이어일수록 더 성능이 좋다는 걸 알 수 있습니다. Original FF에서는 여러 레이어의 출력을 고려할수록 성능이 조금씩 감소하는 반면, collaborative FF는 여러 레이어의 성능을 모두 고려하는 것이 가장 성능이 좋습니다.

기본적으로 딥러닝 네트워크는 선행 레이어의 출력에 의존하기 때문에 뒤쪽 레이어로 갈 수록 각 레이어가 고려할 수 있는 정보가 감소합니다. 대신 앞쪽 레이어에서 정보가 필터링되기 때문에 조금 더 질 좋은 정보를 받을 수 있게 되는데요. 만약 뒤쪽 레이어로 갈 수록 성능이 저하된다면 후속 레이어에서 필요한 정보가 충분히 전달되지 않고 있다는 것을 의미합니다.

이런 관점에서 볼 때 original FF에서 여러 레이어가 동일한 goodness function을 사용할 경우 뒤쪽 레이어의 존재 가치가 떨어지고, 서로 다른 goodness function을 사용하면 뒤쪽 레이어로 전달되는 정보의 quality control이 힘들어지는 문제가 발생할 수 있습니다.

따라서 학습 과정에서 local goodness 대신 global goodness를 고려하는 방안을 제안합니다.

p_i(\text{positive})\overset{\Delta}{=}\left(1+e^{-(\lVert f_{1:i}(x,y)\rVert^2+\gamma-\theta)}\right)^{-1}\qquad(3)

식 (3)을 Collaborative Forward-Forward 라고 합니다. Classic Forward-forward에서는 $\theta$ 를 통해 학습 강도를 조절했는데 이 부분에 새로운 regularization $\gamma$ 항을 추가한 것입니다.

$\gamma$ 값은 다음과 같이 정할 수 있습니다.

\gamma=\sum_{t\neq i}\lVert\hat{f}_{1:t}(x,y)\rVert^2\qquad \text{or}\qquad\gamma_{<t}=\sum_{t<i}\lVert\hat{f}_{1:t}(x,y)\rVert^2

레이어 $t$ 를 최적화하는 데 $t$ 이전까지의 레이어들의 goodness를 합산하거나, 혹은 아예 자신을 제외한 나머지 레이어들의 goodness를 합산해서 threshold $\theta$ 값에 반영합니다. 이 때 $\hat{f}$ 는 $f$ 의 복사본이고, $f$ 는 파라미터를 고정시킨 상태이므로 $\hat{f}$ 의 기울기를 따로 계산하지 않습니다.

Collaborative FF의 최적화 과정은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\Delta w_i={\partial\log\left((1+e^{-(\lVert f_{1:i}(x,y)\rVert^2+\gamma-\theta)})^{-1}\right)\over\partial w_i}

$\gamma$ 가 추가된 것 외에도 학습 순서가 약간 변형되었는데, 먼저 original FF는 선행 레이어부터 학습을 진행하며 각각의 goodness를 최적화시킵니다. 즉, 1번 레이어 최적화가 완료된 이후에 2번, 3번, ... 순으로 학습이 진행됩니다.

반면 collaborative FF는 먼저 모든 레이어의 goodness를 계산하고, global goodness가 수렴할 때까지 학습을 반복합니다. 즉, $1\rightarrow2\rightarrow3$ 순으로 goodness를 계산하여 취합하고 이를 기준으로 최적화를 수행합니다.

위 그림을 보면 layer 내에서 backward가 진행될 때마다 다른 레이어의 정보를 고려하여 최적화가 진행됩니다. 결과적으로 전체 dataset $S$ 에 대한 가중치 $w_1$ 의 값은 모든 레이어의 goodness를 합산한 값을 해당 레이어의 goodness에 대해 미분한 값과 해당 레이어의 goodness를 가중치 $w_1$ 로 미분한 값의 곱이 됩니다. 즉, 전체 네트워크의 상태에 대한 해당 레이어의 기여도를 구할 수 있습니다.

Classic FF와 Collaborative FF 모두 개별적으로 최적화된 레이어들의 합으로 네트워크를 정의하는 것은 같지만, 전자는 단순히 최종 합만 높으면 되기 때문에 다른 레이어에 대해 none of my business인 반면 후자는 최종 합을 높이는 것에 더해 개별 레이어 간 최적의 파라미터 구성을 찾아내는 것이 목표가 됩니다. 그 과정에서 전자에 비해 overfitting을 완화하게 될 것이란 기대도 해볼 수 있습니다.

한 편, 이 부분에서 몇 가지 의문점도 생깁니다.

Collaborative FF는 오차역전파 대비 충분한 메모리 이득이 있는가?
오차역전파가 메모리를 많이 사용하는 이유는 계산을 하기 위해 네트워크 전체를 메모리에 올려야 할 필요가 있기 때문입니다. 물론 Collaborative FF는 가중치 전체를 몰라도 개별 goodness 값만 알면 되기 때문에 조금 더 경량화시킬 순 있겠지만, 메모리 활용 측면에서 충분한 이득이 되지 않는다면 굳이 성능적 우위를 버리고 FF 계열 알고리즘으로 갈아탈 이유가 없겠죠.

레이어의 목적함수를 유기적으로 선택할 수 있는가?
예를 들어 1번 레이어는 MSE를 사용하지만, 2번 레이어는 MAE를 사용한다고 가정해봅시다. Original FF에서 개별 레이어의 최적화는 타 레이어의 최적화와 별로 상관이 없기 때문에 두 레이어의 목적함수가 반드시 같을 필요가 없습니다. 하지만 Collaborative FF는 각각의 레이어들의 goodness가 유기적으로 global goodness를 구성하기 때문에 개별 레이어의 목적함수에 큰 영향을 받을 가능성이 높습니다. 그렇다면 서로 다른 역할의 모듈을 유기적으로 연결했을 때 성능 저하가 발생하지 않을까요?

Entropic view of layer collaboration

여기서부터 흥미로운 부분입니다.

Probability measure $\mu(z)$ 를 갖는 공간 $\mathcal{Z}$ 에서 정의되는 임의의 함수 $h(z)$ 가 있다고 가정해 보겠습니다. $h(z)$ 는 레이어를 나타내는 함수이고, $h(z)\geq0$ 의 functional entropy는 다음과 같습니다.

\text{Ent}_\mu(h)\overset{\Delta}{=}\mathbb{E}_{z\sim\mu}\left[h(z)\log(h(z))\over \mathbb{E}_{z\sim\mu}[h(z)]\right]\qquad(4)

분모에 $\mathbb{E}_{z\sim\mu}[h(z)]$ 가 붙는 이유는 엔트로피의 정의에 맞게 scaling을 해주기 위해서입니다. 만약 $h(z)$ 가 상수라면 식 (4)의 값은 0이 되겠죠.

여기서 layer $h(z)\overset{\Delta}{=}\lVert f_{1:i}(x,y)\rVert^2$ 의 prior를 $p(z)$ , posterior를 $q(z)$ 라고 하면 다음과 같습니다. 여기서 prior는 데이터의 분포를 의미하고, posterior는 레이어가 근사한 분포를 가리킵니다. Representation이라고 봐도 됩니다.

p(z)\overset{\Delta}{=}d\mu(z),\qquad q(z)\overset{\Delta}{=}{p(z)h(z)\over \mathbb{E}_{z\sim\mu}[h(z)]}

$q(z)\geq0$ 이고 $\mathbb{E}_{z\sim\mu}[q(z)]=1$ 이므로 $q(z)$ 를 확률분포로 해석할 수 있습니다. 결과적으로 식 (4)를 layer의 prior & posterior간의 scaled KL Divergence로 해석할 수 있습니다.

\text{Ent}_{z\sim\mu}(h)=\mathbb{E}_{z\sim\mu}[h(z)]\cdot KL(q||p)\qquad(5)

식 (5)의 우변을 보면 해당 레이어의 엔트로피는 $p(z)$ 와 $q(z)$ 간의 KL Divergence 값에 따라 scaling 됩니다. 즉, KL Divergence 항을 레이어의 학습량에 대한 지표로 해석할 수 있습니다.

Forward-Forward 알고리즘을 사용해서 contrastive learning을 하는 예시를 생각해봅시다. 순전파에 해당하는 positive forward 시에는 레이어가 prior를 근사하는 방향으로 학습이 진행되므로 KL divergence가 감소합니다. 반대로 negative forward 시에는 레이어가 prior에서 멀어지려고 하므로 KL divergence가 증가하게 됩니다. 즉, positive pass에서는 positive representation $\text{Ent}_{pos}(h)$ 에 대한 엔트로피가 작아지고 negative pass에서는 negative representation $\text{Ent}_{neg}(h)$ 에 대한 엔트로피가 커지게 되겠죠.

그런데 잘 생각해보면 negative sample에 대해 네트워크의 엔트로피가 커져서 별로 좋을 것이 없습니다. Negative representation의 엔트로피가 커진다는 것은 representation space 상에서 negative로 취급되는 영역이 넓어지는 것과 같은 의미로, positive region이 감소하는 것과 같습니다. 즉, contrastive learning과 마찬가지로 regularization term으로 작용한다는 뜻인데 FF 알고리즘은 레이어간 정보 교환이 거의 일어나지 않습니다. 쉽게 말해서 주어진 정보량은 한정돼 있는데 regularization이 과도한 상황인 것이죠. 당연히 overfitting이 일어나기 매우 쉬운 상태가 됩니다.

그렇다고 해서 positive sample에 대해서 엔트로피가 감소하는 것도 마냥 좋지만은 않습니다. 당연하지만 shortcut을 학습해버려 overfitting이 발생할 위험이 증가하기 때문입니다. 따라서 KL divergence 값을 감소시키되, 완벽하게 input의 분포를 모사하기보다는 중요한 정보를 중심으로 추출하는 것이 핵심입니다. (이와 관련하여 유명한 선행 연구가 있습니다.)

여기서 레이어간 정보를 원활하게 전달할 수 있는 Collaborative FF를 사용한다면 negative sample이 지나치게 제약으로 작용하는 상황을 방지할 수 있으므로 overfitting이 상대적으로 완화됩니다.

실제로 실험 결과를 보면 negative sample에 대한 엔트로피가 original FF보다 훨씬 빠른 속도로 감소합니다. 반대로 positive sample에 대한 엔트로피는 증가하였는데 이는 각 레이어가 고려하는 정보량이 증가하여 representation space에서 positive / negative region의 상대적 균형이 어느 정도 보정되었다는 것을 의미합니다.

Entropy-based optimization

저자들은 original FF가 내부의 functional entropy를 최대화하려는 경향이 있다는 점에 착안하여 maximize entropy optimization을 시도하였습니다. 수식으로 나타내면 다음과 같습니다.

\text{Ent}_{\mu_2}[h(\cdot,\cdot,i)]=\mathbb{E}\left[h(x,y,i)\log\left({h(x,y,i)\over\mathbb{E}[h(x,y,i)]}\right)\right]

복잡해 보이지만 그냥 $i$ 번째 레이어에 대해 식 (4)를 maximize한 것입니다.

성능적으로는 기존의 최적화 방법과 큰 차이가 없었지만 (FashionMNIST 기준 original FF 대비 -0.1%, Collaborative FF 대비 -0.9%), 원래 방법과 비교하여 별도의 $\theta$ 값이 필요 없고 sigmoid function도 사용하지 않는다는 장점이 있습니다.

Limitations

Layer는 개별 레이어를 먼저 최적화시킨 것이고, Network는 전체 네트워크를 동시에 최적화시킨 것입니다. Collaborative FF의 최고 성능과 오차역전파의 최저 성능을 비교해 봤을 때, MNIST는 -5%, Fashion-MNIST는 -8.4%, CIFAR-10에서는 -12.4%로 여전히 큰 성능적 격차가 존재합니다.